6. Automobil projel ¾ celkové dráhy

Kinematika - řešený příklad

🚗 Praktická aplikace: Při plánování cest automobilem potřebujeme vědět, za jak dlouho dorazíme na místo. GPS navigace často ukazují různé rychlosti na různých úsecích - ve městě jedeme pomalu, pak se rozjedeme na dálnici. Znalost výpočtu průměrné rychlosti nám pomůže lépe plánovat čas a předvídat příjezd!

Zadání úlohy

Automobil projel ¾ celkové dráhy rychlostí 54 km·h⁻¹ a zbývající část dráhy rychlostí 72 km·h⁻¹. Vypočítejte jeho průměrnou rychlost.

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Dráha první části s₁ ¾ celkové dráhy -
Rychlost první části v₁ 54 km·h⁻¹
Dráha druhé části s₂ ¼ celkové dráhy -
Rychlost druhé části v₂ 72 km·h⁻¹

Postup řešení

Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.

Krok 1: Analýza situace a převody jednotek

Neznáme celkovou dráhu, tak si ji označíme jako neznámou 's'. Automobil jede většinu cesty (3/4) pomaleji a pouze poslední čtvrtinu rychleji.

Logika výběru: Máme pohyb na dvou úsecích s různými rychlostmi. Pro průměrnou rychlost potřebujeme celkovou dráhu a celkový čas.
Pozor na častou chybu! Průměrná rychlost NENÍ aritmetický průměr rychlostí (54+72)/2 = 63 km/h! Musíme počítat přes časy.
Dané hodnoty:
  • 1. úsek: s₁ = ¾s, rychlost v₁ = 54 km/h
  • 2. úsek: s₂ = ¼s, rychlost v₂ = 72 km/h
  • Hledáme: průměrnou rychlost vₚ

Krok 2: Výběr fyzikální rovnice

Pro výpočet průměrné rychlosti potřebujeme najít časy na jednotlivých úsecích a pak použít definici průměrné rychlosti.

Proč tyto rovnice? Pro každý úsek platí s = v·t, takže t = s/v. Průměrná rychlost je celková dráha dělená celkovým časem.
📐 Potřebné rovnice

$$t = \frac{s}{v} \text{ (čas na každém úseku)}$$

$$v_p = \frac{s_{celková}}{t_{celkový}} \text{ (průměrná rychlost)}$$

Praktická analogie: Je to jako když počítáte průměrnou spotřebu paliva - musíte sečíst všechny litry a podělit celkovou vzdáleností, ne jen průměrovat spotřeby na různých úsecích.

Krok 3: Výpočet časů na jednotlivých úsecích

Vypočítáme, jak dlouho trvá jízda na každém úseku pomocí vztahu t = s/v.

📐 Čas na prvním úseku (¾ dráhy)

$$t_1 = \frac{s_1}{v_1} = \frac{\frac{3}{4}s}{54} = \frac{3s}{4 \cdot 54} = \frac{3s}{216} = \frac{s}{72} \text{ h}$$

📐 Čas na druhém úseku (¼ dráhy)

$$t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{\frac{1}{4}s}{72} = \frac{s}{4 \cdot 72} = \frac{s}{288} \text{ h}$$

Tip pro výpočet: Všimněte si, že výsledek bude nezávislý na konkrétní hodnotě 's' - vykrátí se!
🔍 Mezivýsledky a kontrola (rozbalovací sekce)
Porovnání časů:
  • První úsek (3/4 dráhy): t₁ = s/72 h
  • Druhý úsek (1/4 dráhy): t₂ = s/288 h
  • První úsek trvá 4× déle než druhý (72:288 = 1:4)

Krok 4: Výpočet průměrné rychlosti

Sečteme celkový čas a vydělíme celkovou dráhou.

📐 Celkový čas

$$t_{celkový} = t_1 + t_2 = \frac{s}{72} + \frac{s}{288}$$

$$t_{celkový} = \frac{4s + s}{288} = \frac{5s}{288} \text{ h}$$

📐 Průměrná rychlost

$$v_p = \frac{s_{celková}}{t_{celkový}} = \frac{s}{\frac{5s}{288}} = \frac{s \cdot 288}{5s} = \frac{288}{5} = 57{,}6 \text{ km·h}^{-1}$$

Krok 5: Kontrola výsledku a odpověď

Ověříme rozumnost výsledku a formulujeme konečnou odpověď.

Odpověď:

Průměrná rychlost automobilu je 57,6 km·h⁻¹.

Ověření: 57,6 km/h je mezi 54 a 72 km/h, blíže k nižší hodnotě (protože ¾ cesty jel pomaleji) ✓

Kontrola rozumnosti: Průměrná rychlost 57,6 km/h je logická - blíže k 54 km/h než k 72 km/h, protože většinu času (¾ dráhy) jel pomaleji.
Alternativní způsob: Mohli jsme zvolit konkrétní dráhu (např. s = 144 km), pak t₁ = 108/54 = 2h, t₂ = 36/72 = 0,5h, vₚ = 144/2,5 = 57,6 km/h
🤔 Metakognitivní otázky (rozšířené přemýšlení)
  • Proč průměrná rychlost není aritmetický průměr (54+72)/2 = 63 km/h?
  • Co by se stalo, kdyby auto jelo ¾ dráhy rychleji a ¼ pomaleji?
  • Jak by se změnila průměrná rychlost při jiném poměru úseků (např. ½ a ½)?
  • V jakých reálných situacích řešíme podobné úlohy?
  • Proč se proměnná 's' vykrátila z konečného výsledku?