5. Řešení
Kinematika - řešený příklad
💡 Praktická aplikace: Práce se zlomky času se často vyskytuje v reálném životě - například při plánování vícedňových cest, rozpočítávání pracovního času, nebo při analýze výkonu sportovců. Automobilové navigace také počítá s různými rychlostmi na různých úsecích trasy a dokážou odhadnout celkový čas i bez znalosti celkové vzdálenosti!
Zadání úlohy
Automobil jel ¾ celkové doby jízdy rychlostí 54 km·h⁻¹ a zbývající dobu jízdy rychlostí 72 km·h⁻¹. Vypočítejte jeho průměrnou rychlost.
Vstupní data
| Veličina | Symbol | Hodnota | Jednotka |
|---|---|---|---|
| Doba jízdy rychlostí v₁ | t₁ | ¾ celkového času | - |
| Rychlost první části | v₁ | 54 | km·h⁻¹ |
| Doba jízdy rychlostí v₂ | t₂ | ¼ celkového času | - |
| Rychlost druhé části | v₂ | 72 | km·h⁻¹ |
Postup řešení
Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.
Krok 1: Analýza situace a převody jednotek
Logika výběru: Toto je zlomková úloha na průměrnou rychlost, kde neznáme celkový čas, ale známe poměry časů. Použijeme algebraický přístup se zavedením neznámé "t" pro celkový čas.
Pozor na zlomky! ¾ + ¼ = 1, což znamená, že poměry časů sedí. Jednotky rychlosti jsou již sjednocené (km·h⁻¹).
Dané hodnoty:
- 1. úsek: ¾ celkového času, v₁ = 54 km·h⁻¹
- 2. úsek: ¼ celkového času, v₂ = 72 km·h⁻¹
- Hledáme: průměrnou rychlost vₚ
Krok 2: Výběr fyzikální rovnice
Proč tuto rovnici? Označíme neznámý celkový čas jako "t" a vyjadřujeme jednotlivé časy jako zlomky tohoto "t". Elegance řešení spočívá v tom, že se "t" na konci vykrátí!
Použité rovnice:
- Průměrná rychlost: $v_p = \frac{s_{celková}}{t_{celkový}}$
- Dráha: $s = v \cdot t$
- Označení: celkový čas = t
Praktická analogie: Je to jako při váženém průměru ve škole - známka z testu (72) má menší váhu (¼) než známky z běžné práce (54) s větší váhou (¾). Výsledek bude blíž k častějšímu jevu!
Krok 3: Dosazení hodnot a výpočet
💡 Užitečný tip: Při práci se zlomky času si označte celkový čas jako "t" - často se elegant vykrátí!
📐 Rozdělení času podle zadání
$$\text{1. úsek: } t_1 = \frac{3}{4}t, \quad v_1 = 54 \text{ km/h}$$
$$\text{2. úsek: } t_2 = \frac{1}{4}t, \quad v_2 = 72 \text{ km/h}$$
📐 Výpočet jednotlivých drah
$$s_1 = v_1 \times t_1 = 54 \times \frac{3}{4}t = 40{,}5t$$
$$s_2 = v_2 \times t_2 = 72 \times \frac{1}{4}t = 18t$$
📐 Finální výpočet průměrné rychlosti
$$s_{\text{celková}} = s_1 + s_2 = 40{,}5t + 18t = 58{,}5t$$
$$t_{\text{celkový}} = t$$
$$v_p = \frac{s_{\text{celková}}}{t_{\text{celkový}}} = \frac{58{,}5t}{t} = 58{,}5 \text{ km/h}$$
Krok 4: Kontrola výsledku a odpověď
✅ Odpověď:
Průměrná rychlost automobilu je 58,5 km·h⁻¹.
🔍 Kontrola rozumnosti: Výsledek je časově vážený průměr: (¾ × 54) + (¼ × 72) = 40,5 + 18 = 58,5 km/h ✓. Všimněte si, jak se neznámá "t" vykrátila! To je elegantní vlastnost zlomkových úloh - výsledek nezávisí na konkrétní hodnotě času.
⚡ Alternativní způsob: Mohli bychom si zvolit konkrétní celkový čas (např. 4 h), pak by t₁ = 3 h, t₂ = 1 h, s₁ = 162 km, s₂ = 72 km, vₚ = 234/4 = 58,5 km/h. Výsledek stejný!
🤔 Metakognitivní otázky
- Proč se nám na konci vykrátí neznámá "t"?
- Jak by vypadal výpočet, kdybychom znali konkrétní čas (např. 4 hodiny)?
- Jaký je rozdíl mezi "dělením času" a "dělením dráhy" u průměrné rychlosti?
- Kdy v praxi neznáme celkový čas, ale známe poměr času?
- Jak ověříte správnost pomocí váženého průměru?