4. Řešení
Kinematika - řešený příklad
💡 Praktická aplikace: Průměrná rychlost je klíčová pro logistické společnosti, dopravu zboží a plánování tras. Řidiči kamionů, taxíkáři i řidiči autobusů musí počítat reálné časy jízdy, které zahrnují různé rychlosti v městském provozu, na dálnicích a v kolonách. GPS navigace také počítá průměrné rychlosti pro odhad příjezdu!
Zadání úlohy
Auto jelo 1 hodinu rychlostí 50 km·h⁻¹ a 45 minut rychlostí 20 m·s⁻¹. Vypočítejte jeho průměrnou rychlost.
Vstupní data
| Veličina | Symbol | Hodnota | Jednotka |
|---|---|---|---|
| Rychlost v 1. úseku | v₁ | 50 | km·h⁻¹ |
| Čas 1. úseku | t₁ | 1 | h |
| Rychlost v 2. úseku | v₂ | 20 | m·s⁻¹ |
| Čas 2. úseku | t₂ | 45 | min |
| Hledaná průměrná rychlost | vₚ | ? | km·h⁻¹ |
Postup řešení
Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.
Krok 1: Analýza situace a převody jednotek
Logika výběru: Jde o výpočet průměrné rychlosti pro pohyb s různými rychlostmi v různých časových úsecích. Musíme použít definici průměrné rychlosti jako podíl celkové dráhy a celkového času.
Pozor na jednotky! Máme rychlosti v různých jednotkách (km·h⁻¹ a m·s⁻¹) a časy také (hodiny a minuty). Musíme vše sjednotit před výpočtem!
Dané hodnoty:
- 1. úsek: t₁ = 1 h, v₁ = 50 km·h⁻¹
- 2. úsek: t₂ = 45 min, v₂ = 20 m·s⁻¹
- Hledáme: průměrnou rychlost vₚ
Krok 2: Výběr fyzikální rovnice
Proč tuto rovnici? Průměrná rychlost se NESMÍ počítat jako aritmetický průměr rychlostí! Musíme použít základní definici: průměrná rychlost = celková dráha ÷ celkový čas.
Použité rovnice:
- Průměrná rychlost: $v_p = \frac{s_{celková}}{t_{celkový}}$
- Dráha při rovnoměrném pohybu: $s = v \cdot t$
Praktická analogie: Představte si, že jedete do práce různými rychlostmi - v koloně městem pomalu, pak rychle po dálnici. Celkový čas a celková vzdálenost určí vaši skutečnou průměrnou rychlost, ne průměr z tachometru!
Krok 3: Dosazení hodnot a výpočet
💡 Užitečný tip: Při převodu m·s⁻¹ na km·h⁻¹ vynásobte 3,6. Při převodu minut na hodiny dělte 60.
📐 Převod jednotek
$$t_2 = 45 \text{ min} = \frac{45}{60} \text{ h} = 0{,}75 \text{ h}$$
$$v_2 = 20 \text{ m·s}^{-1} = 20 \times 3{,}6 = 72 \text{ km·h}^{-1}$$
📐 Výpočet drah pro každý úsek
$$s_1 = v_1 \times t_1 = 50 \times 1 = 50 \text{ km}$$
$$s_2 = v_2 \times t_2 = 72 \times 0{,}75 = 54 \text{ km}$$
📐 Finální výpočet průměrné rychlosti
$$s_{celková} = s_1 + s_2 = 50 + 54 = 104 \text{ km}$$
$$t_{celkový} = t_1 + t_2 = 1 + 0{,}75 = 1{,}75 \text{ h}$$
$$v_p = \frac{s_{celková}}{t_{celkový}} = \frac{104}{1{,}75} = 59{,}43 \text{ km·h}^{-1}$$
Krok 4: Kontrola výsledku a odpověď
✅ Odpověď:
Průměrná rychlost automobilu je 59,43 km·h⁻¹.
🔍 Kontrola rozumnosti: Výsledek 59,43 km/h je mezi rychlejším úsekem (72 km/h) a pomalejším (50 km/h) ✓. Průměrná rychlost je blíže k 50 km/h, protože tento úsek trval déle (1 h > 0,75 h) ✓
⚡ Alternativní způsob: Mohli bychom také převést vše na základní jednotky SI (metry a sekundy) a pak převést výsledek zpět. Výsledek by byl stejný: 16,51 m·s⁻¹ = 59,43 km·h⁻¹.
🤔 Metakognitivní otázky
- Proč není průměrná rychlost prostý aritmetický průměr rychlostí?
- Jak by se změnil výsledek, kdybychom jeli každou rychlost stejnou dobu?
- Které přepočty jednotek jsou nejčastější chyby?
- V jakých situacích potřebujeme znát průměrnou rychlost v praxi?
- Jaký vliv má na průměrnou rychlost délka jednotlivých úseků?