3. Grafy závislostí

Kinematika - řešený příklad

📊 Praktická aplikace: Analýza grafů je základní dovednost v inženýrních oborech, lékařství (EKG), ekonomii i sportu. Umění převádět mezi grafy rychlosti a dráhy používají inženýři pro návrh výtahů, letadel i aut. Je to jako překládání mezi jazyky - z grafů můžeme číst příběh pohybu!

Zadání úlohy

Nakreslete graf závislosti dráhy na čase a rychlosti na čase pro zadané grafy v-t, s-t. Graf v-t ukazuje rychlost 6 m/s po dobu 2 s, pak klid po 1 s, pak rychlost 4 m/s po dobu 2 s.

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Rychlost v úseku 1 v₁ 6 m·s⁻¹
Čas úseku 1 t₁ 2 s
Rychlost v úseku 2 v₂ 0 m·s⁻¹
Čas úseku 2 t₂ 1 s
Rychlost v úseku 3 v₃ 4 m·s⁻¹
Čas úseku 3 t₃ 2 s

Postup řešení

Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.

Krok 1: Analýza situace a klíčové vztahy

Máme dva různé typy grafů - graf rychlosti v-t a graf dráhy s-t. Naším úkolem je pochopit jejich vzájemnou souvislost.

Logika převodů: Grafy jsou jako dvě strany té samé mince. Z v-t grafu počítáme plochu (= dráha), ze s-t grafu počítáme sklon (= rychlost).
Pozor! Sklon grafu s-t je rychlost, ne zrychlení. Zrychlení by byl sklon grafu v-t.
Klíčové vztahy:
  • Z v-t na s-t: Plocha pod grafem rychlosti = uražená dráha
  • Z s-t na v-t: Sklon grafu dráhy = rychlost
  • Rychlost v = Δs/Δt (změna dráhy za čas)

Krok 2: Základní vztahy pro grafy

Pro převod mezi grafy používáme základní kinematické vztahy:

📐 Základní vztahy pro grafy

$$v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \text{ (sklon grafu s-t)}$$

$$s = \int v \, dt \text{ (plocha pod grafem v-t)}$$

Krok 3: Výpočet grafů z v-t na s-t

Rozdělíme analýzu na tři časové úseky podle zadaného grafu v-t:

📐 Z grafu v-t na s-t

Úsek 1 (0-2s): $v_1 = 6$ m/s $\rightarrow s_1 = 6 \times 2 = 12$ m

Úsek 2 (2-3s): $v_2 = 0$ m/s $\rightarrow s_2 = 0$ m (stoj)

Úsek 3 (3-5s): $v_3 = 4$ m/s $\rightarrow s_3 = 4 \times 2 = 8$ m

Celková dráha:

$s_{celk} = 12 + 0 + 8 = 20$ m

Graf s-t:
  • 0-2s: Lineární růst z 0 na 12 m (sklon 6)
  • 2-3s: Konstantní hodnota 12 m (vodorovná čára)
  • 3-5s: Lineární růst z 12 na 20 m (sklon 4)

Krok 4: Interpretace a praktický význam

Interpretujeme výsledné grafy a jejich praktický význam.

💡 Interpretace grafů:

Graf v-t: Ukazuje změny rychlosti - pohyb, zastavení, opětovný pohyb

Graf s-t: Ukazuje celkovou uraženou vzdálenost - 12m + zastavení + dalších 8m

Praktické aplikace:

  • GPS navigace - sledování pohybu vozidla
  • Fitness trackery - analýza běhu s pauzami
  • Dopravjí inženýrství - analýza provozu na križovatkách
  • Sportovní analýza - změny tempa běhání

Odpověď: Graf s-t obsahuje tři lineární úseky s různými sklony odpovídajícími rychlostem z grafu v-t.