Převod jednotek

Metoda "Křížového škrtání jednotek"

Příklad: Převeďte 2,5 metru na centimetry.

Postup:

1. Zapíšeme výchozí hodnotu: \(2,5 \text{ m}\)

2. Chceme se zbavit metrů (m), které jsou v čitateli. Musíme tedy použít převodní koeficient, který má metry ve jmenovateli:

$$ 2,5 \text{ m} \times \frac{100 \text{ cm}}{1 \text{ m}} = 2,5 \times 100 \text{ cm} = 250 \text{ cm} $$

3. Jednotky se vyškrtnou: Metry v čitateli a jmenovateli se vyruší, zůstanou pouze centimetry.

Praktické příklady

Příklad 1: Místnost má rozměry 4,5 m × 3,2 m. Jaké jsou rozměry v centimetrech?

Řešení:

$$ 4,5 \text{ m} = 4,5 \times 100 = 450 \text{ cm} $$ $$ 3,2 \text{ m} = 3,2 \times 100 = 320 \text{ cm} $$

Příklad 2: Běžec urazil trať dlouhou 5,2 km. Kolik metrů běžel?

Řešení:

$$ 5,2 \text{ km} = 5,2 \times 1000 = 5200 \text{ m} $$

Příklad 3: Obrazovka telefonu má uhlopříčku 6,5 palce (inch). Kolik je to v centimetrech?

Řešení:

Víme, že 1 palec = 2,54 cm

$$ 6,5 \text{ in} = 6,5 \times 2,54 = 16,51 \text{ cm} $$

Praktický příklad - Nákup koberce

Zadání: Potřebujeme pokrýt pokoj o rozměrech 4,5 × 3,2 metru. Koberec stojí 850 Kč/m². Kolik zaplatíme?

Výpočet:

1. Plocha pokoje: \( S = 4,5 \times 3,2 = 14,4 \text{ m}^2 \)

2. Cena: \( \text{Cena} = 14,4 \times 850 = 12\,240 \text{ Kč} \)

Příklad 2: Fotbalové hřiště má rozměry 105 m × 68 m. Jaká je jeho plocha v hektarech? (1 ha = 10 000 m²)

Výpočet:

1. Plocha v m²: \( S = 105 \times 68 = 7140 \text{ m}^2 \)

2. Převod na hektary: \( S = \frac{7140}{10\,000} = 0,714 \text{ ha} \)

Praktický příklad - Spotřeba paliva

Zadání: Auto spotřebuje 8 litrů benzínu na 100 km. Kolik je to v m³ na 1 km?

Výpočet:

1. Převod litrů na m³: \( 8 \text{ l} = 8 \times 0,001 = 0,008 \text{ m}^3 \)

2. Spotřeba na 1 km: \( \frac{0,008 \text{ m}^3}{100 \text{ km}} = 0,00008 \text{ m}^3/\text{km} \)

Příklad 2: Bazén má rozměry 25 m × 10 m × 2 m (hloubka). Kolik litrů vody do něj lze nalít?

Výpočet:

1. Objem v m³: \( V = 25 \times 10 \times 2 = 500 \text{ m}^3 \)

2. Převod na litry: Víme, že 1 m³ = 1000 l

$$ V = 500 \times 1000 = 500\,000 \text{ l} $$

Praktický příklad - Dávkování léku

Zadání: Lékař předepsal dávkování 0,5 mg léku na kilogram tělesné hmotnosti. Kolik tablet po 125 mg musí užít pacient vážící 75 kg?

Výpočet:

1. Celková dávka: \( 0,5 \times 75 = 37,5 \text{ mg} \)

2. Počet tablet: \( \frac{37,5}{125} = 0,3 \text{ tablety} \)

Praktický příklad - Rychlost světla

Zadání: Světlo urazí vzdálenost k Měsíci (384 400 km) za 1,28 sekundy. Kolik je to v minutách?

Výpočet:

$$ 1,28 \text{ s} \times \frac{1 \text{ min}}{60 \text{ s}} = \frac{1,28}{60} = 0,0213 \text{ min} $$

Příklad 2: Film trvá 2 hodiny a 25 minut. Kolik je to celkem sekund?

Výpočet:

1. Převod hodin na sekundy: \( 2 \text{ h} = 2 \times 3600 = 7200 \text{ s} \)

2. Převod minut na sekundy: \( 25 \text{ min} = 25 \times 60 = 1500 \text{ s} \)

3. Celkový čas: \( 7200 + 1500 = 8700 \text{ s} \)

Příklad 1: Rychlost (z km/h na m/s)

Zadání: Auto na dálnici jede rychlostí 130 km/h. Jaká je jeho rychlost v metrech za sekundu (m/s), což je základní jednotka SI?

Postup:

1. Zápis zlomkem: $$ 130 \frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{130 \text{ km}}{1 \text{ h}} $$

2. Převod čitatele (km → m): Víme, že 1 km = 1000 m.

$$ 130 \text{ km} = 130 \times 1000 \text{ m} = 130\,000 \text{ m} $$

3. Převod jmenovatele (h → s): Víme, že 1 hodina = 60 minut a 1 minuta = 60 sekund.

$$ 1 \text{ h} = 60 \times 60 \text{ s} = 3600 \text{ s} $$

4. Výpočet: Nyní dosadíme převedené hodnoty zpět do zlomku.

$$ \frac{130\,000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} \approx 36.11 \frac{\text{m}}{\text{s}} $$

Příklad 2: Hustota (z g/cm³ na kg/m³)

Zadání: Hustota hliníku je přibližně 2,7 g/cm³. Jaká je jeho hustota v základních jednotkách SI, tedy v kg/m³?

Postup:

1. Zápis zlomkem: $$ 2,7 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = \frac{2,7 \text{ g}}{1 \text{ cm}^3} $$

2. Převod čitatele (g → kg): Víme, že 1 kg = 1000 g.

$$ 2,7 \text{ g} = 2,7 ÷ 1000 \text{ kg} = 0,0027 \text{ kg} $$

3. Převod jmenovatele (cm³ → m³): Tohle je záludnější! Víme, že 1 m = 100 cm. Pro krychlové jednotky musíme převodní vztah umocnit na třetí:

$$ 1 \text{ m}^3 = (100 \text{ cm})^3 = 100 \times 100 \times 100 \text{ cm}^3 = 1\,000\,000 \text{ cm}^3 $$

Z toho plyne:

$$ 1 \text{ cm}^3 = \frac{1}{1\,000\,000} \text{ m}^3 = 0,000001 \text{ m}^3 $$

4. Výpočet: Dosadíme převedené hodnoty.

$$ \frac{0,0027 \text{ kg}}{0,000001 \text{ m}^3} = 2700 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} $$

Praktický příklad - Amerikanské auto

Zadání: Americké auto má spotřebu 25 mil na galon (25 mpg). Kolik je to v l/100km (evropský standard)?

Výpočet:

1. Převod na km/l:

$$ 25 \frac{\text{mile}}{\text{gal}} = 25 \times \frac{1,609 \text{ km}}{1 \text{ mile}} \times \frac{1 \text{ gal}}{3,785 \text{ l}} = 25 \times \frac{1,609}{3,785} = 10,62 \text{ km/l} $$

2. Převod na l/100km:

$$ \frac{100 \text{ km}}{10,62 \text{ km/l}} = 9,42 \text{ l/100km} $$

🔍 Konkrétní příklady chyb a jejich opravy

Chyba 1: Zapomenutí umocnit u plošných jednotek

Zadání: Převeďte 3 m² na cm²

❌ Špatně: \( 3 \text{ m}^2 \times 100 = 300 \text{ cm}^2 \)

✅ Správně: \( 3 \text{ m}^2 \times 100^2 = 3 \times 10\,000 = 30\,000 \text{ cm}^2 \)

Chyba 2: Obrácený převodní koeficient

Zadání: Převeďte 2,5 km na metry

❌ Špatně: \( 2,5 \text{ km} \times \frac{1 \text{ km}}{1000 \text{ m}} = 0,0025 \text{ m} \)

✅ Správně: \( 2,5 \text{ km} \times \frac{1000 \text{ m}}{1 \text{ km}} = 2500 \text{ m} \)

Chyba 3: Špatný převod složených jednotek

Zadání: Auto jede rychlostí 90 km/h. Kolik je to v m/s?

❌ Špatně: \( 90 \text{ km/h} \times 1000 = 90\,000 \text{ m/s} \)

✅ Správně: \( 90 \text{ km/h} = \frac{90 \times 1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = 25 \text{ m/s} \)

✅ Rychlý převod: \( 90 \text{ km/h} \div 3,6 = 25 \text{ m/s} \)

Praktický příklad - Spotřeba benzínu na dovolené

Zadání: Na dovolené v Americe jste si půjčili auto, které spotřebuje 25 mil na galon (25 mpg). Chcete jet 300 kilometrů. Kolik litrů benzínu spotřebujete?

Postup:

1. Identifikace převodů:

• Vzdálenost: 300 km → míle
• Spotřeba: 25 mpg → litry/100km (evropský standard)

2. Převod vzdálenosti (km → míle):

Víme, že 1 míle = 1,609 km, tedy 1 km = 1/1,609 míle ≈ 0,621 míle

$$ 300 \text{ km} = 300 \times 0,621 = 186,3 \text{ mil} $$

3. Výpočet spotřeby benzínu v galonech:

Auto ujede 25 mil na 1 galon, takže pro 186,3 mil potřebuje:

$$ \frac{186,3 \text{ mil}}{25 \text{ mil/gal}} = 7,45 \text{ galonů} $$

4. Převod galonů na litry:

Víme, že 1 US galon = 3,785 litru

$$ 7,45 \text{ gal} \times 3,785 \frac{\text{l}}{\text{gal}} = 28,2 \text{ litrů} $$