Průvodce Kinematikou
Pojďme společně odhalit tajemství pohybu těles kolem nás!
Co je kinematika a proč ji studujeme?
Představte si, že sledujete auto jedoucí po silnici, míč letící vzduchem nebo kapku vody padající z kohoutku. Všechna tato tělesa mají něco společného - pohybují se! A právě studium tohoto pohybu je kinematika.
Kinematika je část mechaniky, která se zabývá popisem pohybu těles v čase a prostoru. Nezajímáme se o příčiny pohybu (síly), ale pouze o to, jak se tělesa pohybují.
Základní pojmy kinematiky
🔴 1. Hmotný bod
Definice: Idealizovaný objekt, který má hmotnost, ale jeho rozměry jsou zanedbatelné ve srovnání s délkou trajektorie nebo rozměry prostoru.
Kdy jej používáme?
- 🚗 Auto jedoucí z Prahy do Brna (auto je malé oproti trase)
- ✈️ Letadlo na transkontinentálním letu
- 🌍 Země obíhající Slunce
- 🏃♂️ Běžec na atletickém oválu
⚖️ 2. Těžiště
Definice: Speciální bod tělesa, který se chová tak, jako by v něm byla soustředěna celá hmotnost tělesa.
Praktický význam: Při studiu pohybu tělesa jako celku sledujeme právě pohyb jeho těžiště.
Příklad: Skokan do vody může dělat piruety, ale jeho těžiště opisuje jednoduchou parabolu.
📍 3. Trajektorie
Definice: Geometrická čára, kterou hmotný bod opisuje během svého pohybu v prostoru. Je to "stopa", kterou za sebou zanechává pohybující se těleso.
Typy trajektorií:
- 📏 Přímka: auto jedoucí po rovné silnici
- ⭕ Kružnice: kámen točený na provázku, satelit obíhající Zemi
- 📈 Parabola: vržený míč, proud vody z hadice
- 🌀 Složitější křivky: let včely, pohyb listu ve větru
📐 4. Dráha vs. Posunutí
📏 Dráha (s)
Definice: Celková délka trajektorie, kterou hmotný bod urazil
Typ: Skalární veličina (pouze velikost)
Jednotka: metr [m]
Příklad: Uběhli jste 400 m na atletickém oválu
➡️ Posunutí (\(\vec{\Delta r}\))
Definice: Vektorová veličina popisující změnu polohy (z počátečního do konečného bodu)
Typ: Vektorová veličina (velikost + směr)
Jednotka: metr [m]
Příklad: Po oběhnutí oválu je posunutí = 0 m
📊 5. Skalární vs. Vektorové veličiny
📏 Skalární veličiny
Popis: Určeny pouze velikostí (číselná hodnota + jednotka)
Příklady:
- ⏰ Čas: 10 sekund
- 🌡️ Teplota: 20 °C
- ⚖️ Hmotnost: 5 kg
- 📏 Dráha: 100 m
- ⚡ Energie: 50 J
➡️ Vektorové veličiny
Popis: Určeny velikostí, směrem a orientací
Znázornění: Šipka (délka = velikost, směr = směr)
Příklady:
- 📍 Posunutí: 5 m na severovýchod
- 🚗 Rychlost: 60 km/h na západ
- 📉 Zrychlení: 9,81 m/s² dolů
- 💪 Síla: 10 N doprava
1. Rovnoměrný přímočarý pohyb
Princip: Nejjednodušší druh pohybu. Těleso se pohybuje stále stejnou rychlostí po přímce. Představte si auto jedoucí konstantní rychlostí po rovné silnici.
Kinematické rovnice
Základní rovnice dráhy: Dráha je přímo úměrná času. $$ s = v \cdot t $$
Rychlost: Zůstává konstantní po celou dobu pohybu. $$ v = \text{konstantní} $$
Zrychlení: Je nulové, protože se rychlost nemění. $$ a = 0 $$
Konkrétní příklad
Zadání: Auto jede konstantní rychlostí 60 km/h po rovné silnici. Kolik kilometrů ujede za 2 hodiny? Jaká je jeho rychlost v m/s?
Výpočet:
1. Převod jednotek: \( v = 60 \, \text{km/h} = \frac{60 \times 1000}{3600} = 16{,}67 \, \text{m/s} \)
2. Dráha za 2 hodiny: \( s = v \cdot t = 60 \times 2 = 120 \, \text{km} \)
3. Kontrola v základních jednotkách: \( s = 16{,}67 \times 7200 = 120{,}000 \, \text{m} = 120 \, \text{km} \) ✓
Tabulka pohybu
| Čas [h] | Rychlost [km/h] | Ujetá dráha [km] | Celková dráha [km] |
|---|---|---|---|
| 0 | 60 | 0 | 0 |
| 1 | 60 | 60 | 60 |
| 2 | 60 | 60 | 120 |
⚡ Interaktivní simulace rychlosti
2. Rovnoměrně zrychlený pohyb
Princip: Těleso se pohybuje s konstantním zrychlením. Rychlost se lineárně zvyšuje nebo snižuje. Představte si auto, které plynule přidává plyn nebo brzdí.
Odvození kinematických rovnic
1. Rychlost v čase (z definice zrychlení):
Zrychlení je definováno jako změna rychlosti za čas: $$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v - v_0}{t - 0} $$
Vyjádříme rychlost v: $$ a \cdot t = v - v_0 $$
První kinematická rovnice: $$ v = v_0 + a \cdot t $$
2. Dráha v čase (z průměrné rychlosti):
Průměrná rychlost při konstantním zrychlení: $$ \bar{v} = \frac{v_0 + v}{2} $$
Dráha je průměrná rychlost krát čas: $$ s = \bar{v} \cdot t = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t $$
Dosadíme \(v = v_0 + at\): $$ s = \frac{v_0 + (v_0 + at)}{2} \cdot t = \frac{2v_0 + at}{2} \cdot t $$
Druhá kinematická rovnice: $$ s = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 $$
3. Rychlost vs. dráha (eliminace času):
Z první rovnice vyjádříme čas: $$ t = \frac{v - v_0}{a} $$
Dosadíme do druhé rovnice: $$ s = v_0 \cdot \frac{v - v_0}{a} + \frac{1}{2} a \cdot \left(\frac{v - v_0}{a}\right)^2 $$
Upravíme: $$ s = \frac{v_0(v - v_0)}{a} + \frac{(v - v_0)^2}{2a} = \frac{2v_0(v - v_0) + (v - v_0)^2}{2a} $$
$$ s = \frac{(v - v_0)(2v_0 + v - v_0)}{2a} = \frac{(v - v_0)(v + v_0)}{2a} = \frac{v^2 - v_0^2}{2a} $$
Třetí kinematická rovnice: $$ v^2 = v_0^2 + 2 a \cdot s $$
Konkrétní příklad
Zadání: Auto stojí na semaforech a začne zrychlovat konstantním zrychlením 2 m/s². Jakou rychlost bude mít po 5 sekundách a kolik metrů za tu dobu ujede?
Výpočet:
1. Počáteční podmínky: \( v_0 = 0 \, \text{m/s} \), \( a = 2 \, \text{m/s}^2 \), \( t = 5 \, \text{s} \)
2. Rychlost po 5s: \( v = v_0 + a \cdot t = 0 + 2 \times 5 = 10 \, \text{m/s} \)
3. Ujetá dráha: \( s = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 = 0 \times 5 + \frac{1}{2} \times 2 \times 5^2 = 25 \, \text{m} \)
4. Kontrola: \( v^2 = v_0^2 + 2as \implies 10^2 = 0^2 + 2 \times 2 \times 25 = 100 \) ✓
Tabulka pohybu
| Čas [s] | Rychlost [m/s] | Dráha za interval [m] | Celková dráha [m] |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 3 | 4 |
| 3 | 6 | 5 | 9 |
| 4 | 8 | 7 | 16 |
| 5 | 10 | 9 | 25 |
🚀 Interaktivní simulace zrychlení
3. Volný pád
Princip: Speciální případ rovnoměrně zrychleného pohybu. Těleso spadá volně v gravitačním poli Země s konstantním zrychlením g = 9,81 m/s². Představte si kámen puštený z výšky.
Odvození rovnic pro volný pád
Volný pád jako speciální případ:
Volný pád je rovnoměrně zrychlený pohyb s \(v_0 = 0\) a \(a = g = 9{,}81 \, \text{m/s}^2\).
1. Rychlost při volném pádu:
Z obecné rovnice \(v = v_0 + at\) s \(v_0 = 0\) a \(a = g\):
$$ v = 0 + g \cdot t = g \cdot t $$
2. Výška pádu:
Z obecné rovnice \(s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) s \(v_0 = 0\) a \(a = g\):
$$ h = 0 \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2 = \frac{1}{2} g \cdot t^2 $$
3. Rychlost vs. výška:
Z obecné rovnice \(v^2 = v_0^2 + 2as\) s \(v_0 = 0\), \(a = g\) a \(s = h\):
$$ v^2 = 0^2 + 2 \cdot g \cdot h = 2gh $$
Tedy: $$ v = \sqrt{2gh} $$
Poznámka: Tyto rovnice platí pro pád bez počáteční rychlosti. Pro házení vzhůru musíme uvažovat \(v_0 \neq 0\) a \(a = -g\).
Konkrétní příklad
Zadání: Z okna ve výšce 20 metrů spadne květináč. Za jak dlouho dopadne na zem a jakou rychlostí?
Výpočet:
1. Dáno: \( h = 20 \, \text{m} \), \( g = 9{,}81 \, \text{m/s}^2 \), \( v_0 = 0 \)
2. Čas pádu: \( h = \frac{1}{2} g t^2 \implies t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 20}{9{,}81}} = \sqrt{4{,}08} = 2{,}02 \, \text{s} \)
3. Rychlost při dopadu: \( v = g \cdot t = 9{,}81 \times 2{,}02 = 19{,}8 \, \text{m/s} \)
4. Kontrola: \( v^2 = 2gh \implies v = \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 20} = \sqrt{392{,}4} = 19{,}8 \, \text{m/s} \) ✓
Tabulka pádu
| Čas [s] | Rychlost [m/s] | Výška pádu [m] | Zbývající výška [m] |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 20 |
| 0,5 | 4,9 | 1,2 | 18,8 |
| 1,0 | 9,8 | 4,9 | 15,1 |
| 1,5 | 14,7 | 11,0 | 9,0 |
| 2,02 | 19,8 | 20,0 | 0 |
🍎 Simulace volného pádu
Nastavte výšku a spusťte simulaci
4. Praktické aplikace kinematiky
Kde kinematiku potkáváme: Kinematika není jen školní předmět - používá se všude kolem nás!
Reálné příklady použití
- Doprava: Brzdná dráha aut, letadla na dráze, trajektorie projektilů
- Sport: Hod míčem, skok do dálky, rychlost běžce
- Technika: GPS navigace, robotika, kontrola pohybu strojů
- Astronomie: Pohyb planet, družic, komet
Brzdná dráha automobilu
Jeden z nejdůležitějších praktických výpočtů! Při rychlosti 50 km/h a zpomalení 7 m/s²:
Převod: \( v_0 = 50 \, \text{km/h} = 13{,}89 \, \text{m/s} \)
Brzdná dráha: \( s = \frac{v_0^2}{2a} = \frac{13{,}89^2}{2 \times 7} = \frac{192{,}9}{14} = 13{,}8 \, \text{m} \)
| Rychlost [km/h] | Rychlost [m/s] | Brzdná dráha [m] |
|---|---|---|
| 30 | 8,33 | 5,0 |
| 50 | 13,89 | 13,8 |
| 90 | 25,00 | 44,6 |
| 130 | 36,11 | 93,2 |
4. Vrh šikmo vzhůru
Princip: Kombinace dvou nezávislých pohybů - vodorovného rovnoměrného a svislého rovnoměrně zrychleného. Představte si míč vhozený pod úhlem nebo dělostřelecký granát.
Odvození rovnic vrhu šikmo vzhůru
1. Rozklad počáteční rychlosti:
Počáteční rychlost v₀ rozložíme na dvě kolmé složky:
$$ v_{x0} = v_0 \cos \alpha \quad \text{(vodorovná složka)} $$
$$ v_{y0} = v_0 \sin \alpha \quad \text{(svislá složka)} $$
2. Pohyb v jednotlivých směrech:
Vodorovný směr (x): Rovnoměrný pohyb (bez zrychlení)
$$ x = v_{x0} \cdot t = v_0 \cos \alpha \cdot t $$
$$ v_x = v_{x0} = v_0 \cos \alpha = \text{konstantní} $$
Svislý směr (y): Rovnoměrně zrychlený pohyb (a = -g)
$$ y = v_{y0} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 = v_0 \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 $$
$$ v_y = v_{y0} - g t = v_0 \sin \alpha - g t $$
3. Trajektorie (eliminace času):
Z rovnice pro x vyjádříme čas: \(t = \frac{x}{v_0 \cos \alpha}\)
Dosadíme do rovnice pro y:
$$ y = x \tan \alpha - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha} $$
4. Důležité parametry:
Čas letu: $$ T = \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g} $$
Dosah: $$ R = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} $$
Maximální výška: $$ h_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g} $$
Konkrétní příklad
Zadání: Míč je vhozen počáteční rychlostí 20 m/s pod úhlem 45°. Vypočítejte dosah, maximální výšku a čas letu.
Výpočet:
1. Dáno: \( v_0 = 20 \, \text{m/s} \), \( \alpha = 45° \), \( g = 9{,}81 \, \text{m/s}^2 \)
2. Dosah: \( R = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} = \frac{20^2 \sin(2 \times 45°)}{9{,}81} = \frac{400 \times 1}{9{,}81} = 40{,}8 \, \text{m} \)
3. Maximální výška: \( h_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g} = \frac{20^2 \sin^2 45°}{2 \times 9{,}81} = \frac{400 \times 0{,}5}{19{,}62} = 10{,}2 \, \text{m} \)
4. Čas letu: \( T = \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g} = \frac{2 \times 20 \times \sin 45°}{9{,}81} = \frac{40 \times 0{,}707}{9{,}81} = 2{,}88 \, \text{s} \)
Parametry vrhu
| Parametr | Vzorec | Hodnota |
|---|---|---|
| Dosah R | v₀²sin(2α)/g | 40,8 m |
| Max. výška h_max | v₀²sin²α/(2g) | 10,2 m |
| Čas letu T | 2v₀sinα/g | 2,88 s |
| Úhel pro max. dosah | 45° | 45° |
🎯 Simulace vrhu šikmo vzhůru
5. Pohyb po kružnici
Princip: Těleso se pohybuje po kružnici konstantní rychlostí, ale směr rychlosti se neustále mění. Proto existuje dostředivé zrychlení směřující do středu kružnice.
Odvození rovnic kruhového pohybu
1. Úhlové veličiny:
Za čas T (perioda) urazí těleso celou kružnici (2πr), tedy úhel 2π radiánů:
$$ \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f $$
kde ω je úhlová rychlost [rad/s], f je frekvence [Hz]
2. Vztah mezi lineární a úhlovou rychlostí:
Obvodová rychlost je:
$$ v = \frac{2\pi r}{T} = \omega \cdot r $$
3. Dostředivé zrychlení:
Přestože velikost rychlosti je konstantní, její směr se mění. Změna směru způsobuje zrychlení:
$$ a_d = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r = \frac{4\pi^2 r}{T^2} $$
Toto zrychlení směřuje do středu kružnice (dostředivé).
4. Dostředivá síla:
Podle 2. Newtonova zákona musí působit síla:
$$ F_d = m \cdot a_d = \frac{m v^2}{r} = m \omega^2 r $$
Konkrétní příklad
Zadání: Satelit obíhá Zemi ve výšce 400 km nad povrchem. Poloměr oběžné dráhy je 6800 km. Jaká je jeho obvodová rychlost a perioda oběhu?
Výpočet:
1. Dáno: \( r = 6{,}8 \times 10^6 \, \text{m} \), \( g = 9{,}81 \, \text{m/s}^2 \) (na povrchu)
2. Pro kruhový oběh: gravitační síla = dostředivá síla
3. Obvodová rychlost: \( v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \approx \sqrt{gr} = \sqrt{9{,}81 \times 6{,}8 \times 10^6} = 7{,}7 \, \text{km/s} \)
4. Perioda: \( T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \times 6{,}8 \times 10^6}{7700} = 5540 \, \text{s} = 92{,}3 \, \text{min} \)
Parametry kruhového pohybu
| Veličina | Vzorec | Jednotka | Příklad |
|---|---|---|---|
| Úhlová rychlost ω | 2π/T | rad/s | 0,00113 |
| Obvodová rychlost v | ωr | m/s | 7700 |
| Dostředivé zrychlení | v²/r | m/s² | 8,7 |
| Perioda T | 2πr/v | s | 5540 |
🌀 Simulace kruhového pohybu
Nastavte úhlovou rychlost a spusťte rotaci
4. Interaktivní kalkulátory
Praktické nástroje pro rychlé výpočty kinematických úloh