Separátor s recyklem

Zadání

Separační jednotka zpracovává směs složek A a B. Systém má následující parametry:

Čerstvý vstup (proud 1): Průtok \( \dot{m}_1 = 100 \, \text{kg/h} \), složení 30 hm.% A a 70 hm.% B.
Separátor: Odděluje 90 % složky A (která do něj vstoupí) do horního produktu a 85 % složky B (která do něj vstoupí) do spodního produktu.
Recykl: Celý horní produkt ze separátoru se vrací zpět (recykluje) a mísí se s čerstvým vstupem.

Úkol: Určete složení a hmotnostní průtoky všech proudů v systému.

Analýza a Bilanční Schéma

Tento systém obsahuje recyklační smyčku. Čerstvý vstup se mísí s recyklem a vytváří tak celkový nástřik do separátoru. Separátor pak tento nástřik dělí na výsledný produkt a recyklovaný proud.

Strategie a Postupný Výpočet

Jak na systémy se smyčkou? Bilance "Černé skříňky"!

Recykly se nejlépe řeší tak, že si nejprve celý systém představíme jako jednu velkou "černou skříňku". Zajímají nás jen proudy, které překračují hranice systému. V našem případě do systému vstupuje pouze čerstvý vstup (1) a vystupuje pouze spodní produkt (3). Vše ostatní (proudy 2 a 4) je uvnitř.

Zákon zachování hmotnosti nám říká, že co do černé skříňky vejde, musí z ní i vyjít. To nám výpočet obrovsky zjednoduší!

1. Celková bilance systému ("Černá skříňka"):
Celková hmotnost: \( \dot{m}_1 = \dot{m}_3 \)
Protože \( \dot{m}_1 = 100 \, \text{kg/h} \), tak \( \dot{m}_3 = 100 \, \text{kg/h} \).
Bilance složky A: \( \dot{m}_1 \cdot w_{A1} = \dot{m}_3 \cdot w_{A3} \)
\( 100 \cdot 0,30 = 100 \cdot w_{A3} \implies w_{A3} = 0,30 \) (30 % A)
Tím pádem \( w_{B3} = 1 - 0,30 = 0,70 \) (70 % B).
Zjistili jsme, že spodní produkt má stejný průtok i složení jako čerstvý vstup. To dává smysl, protože je to jediný produkt opouštějící systém.

2. Bilance kolem separátoru:
Nyní, když známe proud 3, můžeme se zaměřit na separátor. Známe jeho účinnost pro obě složky.
Množství složky B v proudu 3: \( \dot{m}_{B3} = \dot{m}_3 \cdot w_{B3} = 100 \cdot 0,70 = 70 \, \text{kg/h} \).
Víme, že toto množství je 85 % složky B, která do separátoru vstoupila v proudu 2:
\( \dot{m}_{B3} = 0,85 \cdot \dot{m}_{B2} \implies 70 = 0,85 \cdot \dot{m}_{B2} \)
Množství složky B v nástřiku (proudu 2): \( \dot{m}_{B2} = \frac{70}{0,85} \approx 82,35 \, \text{kg/h} \).
Množství složky A v proudu 3: \( \dot{m}_{A3} = \dot{m}_3 \cdot w_{A3} = 100 \cdot 0,30 = 30 \, \text{kg/h} \).
Zbytek složky A, který nevystoupil nahoře, musí být ve spodním produktu. Pokud 90 % A jde do horního produktu (recyklu), pak 10 % A jde do spodního produktu:
\( \dot{m}_{A3} = (1 - 0,90) \cdot \dot{m}_{A2} \implies 30 = 0,10 \cdot \dot{m}_{A2} \)
Množství složky A v nástřiku (proudu 2): \( \dot{m}_{A2} = \frac{30}{0,10} = 300 \, \text{kg/h} \).

3. Výpočet nástřiku do separátoru (proud 2):
Celkový průtok proudu 2 je součtem průtoků jeho složek:
\( \dot{m}_2 = \dot{m}_{A2} + \dot{m}_{B2} = 300 + 82,35 = 382,35 \, \text{kg/h} \)
Složení proudu 2:
\( w_{A2} = \frac{300}{382,35} \approx 0,7846 \) (78,46 % A)
\( w_{B2} = \frac{82,35}{382,35} \approx 0,2154 \) (21,54 % B)

4. Výpočet recyklu (proud 4):
Použijeme bilanci mísícího bodu: \( \dot{m}_1 + \dot{m}_4 = \dot{m}_2 \)
\( 100 + \dot{m}_4 = 382,35 \implies \dot{m}_4 = 282,35 \, \text{kg/h} \)
Množství složek v proudu 4:
Složka A v recyklu (90 % z nástřiku A): \( \dot{m}_{A4} = 0,90 \cdot \dot{m}_{A2} = 0,90 \cdot 300 = 270 \, \text{kg/h} \)
Složka B v recyklu (zbytek B, tedy 15 %): \( \dot{m}_{B4} = (1-0,85) \cdot \dot{m}_{B2} = 0,15 \cdot 82,35 \approx 12,35 \, \text{kg/h} \)
(Kontrola: \( \dot{m}_4 = 270 + 12,35 = 282,35 \, \text{kg/h} \). Sedí!)
Složení proudu 4:
\( w_{A4} = \frac{270}{282,35} \approx 0,9563 \) (95,63 % A)
\( w_{B4} = \frac{12,35}{282,35} \approx 0,0437 \) (4,37 % B)

Výsledky

Průtoky a složení jednotlivých proudů jsou:

Proud 1 (Čerstvý vstup): Průtok = 100 kg/h, Složení = 30% A, 70% B
Proud 2 (Nástřik do separátoru): Průtok = 382,4 kg/h, Složení = 78,5% A, 21,5% B
Proud 3 (Spodní produkt): Průtok = 100 kg/h, Složení = 30% A, 70% B
Proud 4 (Recykl): Průtok = 282,4 kg/h, Složení = 95,6% A, 4,4% B

Souhrnná bilanční tabulka (Hmotnostní toky)

Proud	Popis	Celkový tok [kg/h]	Tok složky A [kg/h]	Tok složky B [kg/h]
1	Čerstvý vstup	100,0	30,0	70,0
2	Nástřik	382,4	300,0	82,4
3	Spodní produkt	100,0	30,0	70,0
4	Recykl	282,4	270,0	12,4

Přehled hmotnostních zlomků (Složení)

Proud	Popis	Složení w_A [%]	Složení w_B [%]
1	Čerstvý vstup	30,0	70,0
2	Nástřik	78,5	21,5
3	Spodní produkt	30,0	70,0
4	Recykl	95,6	4,4