Krystalizace uhličitanu sodného s recyklací
Zadání úlohy
Roztok o průtoku 1000 kg/h obsahující 10 hm.% uhličitanu sodného (Na₂CO₃) se mísí s recyklovaným proudem. Směs se vede do odparky, kde se odpaří část vody a roztok se zahustí na 30 hm.% Na₂CO₃.
Tento zahuštěný roztok postupuje do krystalizátoru, kde ochlazením vznikají krystaly dekahydrátu uhličitanu sodného (Na₂CO₃ · 10H₂O) a matečný roztok s 20 hm.% Na₂CO₃. Matečný roztok se dělí - část odchází jako odpad a část se vrací jako recykl na začátek.
Cíl: Dosáhnout 90% výtěžnosti krystalizace (tj. 90 % uhličitanu ze vstupu se stane součástí krystalů).
🔄 Úkol
Jak velký musí být recyklující proud?
Bilanční schéma procesu
🏭 Schéma technologického procesu
🏷️ Pojmenování proudů
Složky: A = Na₂CO₃, B = H₂O
- Proud 1: Surovina (1000 kg/h, 10% Na₂CO₃)
- Proud 2: Směs suroviny a recyklu (vstup do odparky)
- Proud 3: Odpařená voda (čistá H₂O)
- Proud 4: Zahuštěný roztok (30% Na₂CO₃)
- Proud 5: Produkt - krystaly Na₂CO₃·10H₂O
- Proud 6: Matečný roztok (20% Na₂CO₃)
- Proud 7: Odpad (20% Na₂CO₃)
- Proud 8: Recykl (20% Na₂CO₃) - hledáno!
Strategie řešení
🎯 Metoda "zvenku dovnitř"
Systém vypadá složitě kvůli vnitřním proudům (2, 4, 6, 8). Klíčová finta je:
- Nejprve analyzovat celý proces jako "černou skříňku" - zajímají nás jen proudy 1, 3, 5, 7
- Spočítat vnější bilanci - určit velikosti vstupů a výstupů
- Postupně "rozbalovat" jednotlivá zařízení - krystalizátor, dělič
- Nakonec dopočítat recykl z bilance děliče
Postup výpočtu
Krok 1: Analýza krystalů (proud 5)
Krystaly jsou dekahydrát Na₂CO₃ · 10H₂O. Určíme jejich složení:
- $M_{\mathrm{Na_2CO_3}} = 106$ g/mol
- $M_{\mathrm{H_2O}} = 18$ g/mol
- $M_{\mathrm{krystal}} = 106 + 10 \times 18 = 286$ g/mol
Hmotnostní složení krystalů:
$$w_{A,5} = \frac{106}{286} = 0.3706 = 37.06\,\%$$ $$w_{B,5} = \frac{180}{286} = 0.6294 = 62.94\,\%$$Krok 2: Celková bilance systému - "černá skříňka"
Výpočet produktu (proud 5) z výtěžnosti:
Množství Na₂CO₃ na vstupu: $\dot{m}_{A,1} = 1000 \times 0.10 = 100$ kg/h
90% se má stát produktem: $\dot{m}_{A,5} = 100 \times 0.90 = 90$ kg/h
$$\dot{m}_5 = \frac{\dot{m}_{A,5}}{w_{A,5}} = \frac{90}{0.3706} = 242.8 \mathrm{ \; kg/h}$$Bilance Na₂CO₃ pro celý systém:
$$\mathrm{VSTUP} = \mathrm{VÝSTUP}$$ $$\dot{m}_1 \cdot w_{A,1} = \dot{m}_5 \cdot w_{A,5} + \dot{m}_7 \cdot w_{A,7}$$ $$1000 \times 0.10 = 242.8 \times 0.3706 + \dot{m}_7 \times 0.20$$ $$100 = 90 + \dot{m}_7 \times 0.20$$ $$\dot{m}_7 = \frac{10}{0.20} = 50 \mathrm{ \; kg/h}$$Celková hmotnostní bilance:
$$\dot{m}_1 = \dot{m}_3 + \dot{m}_5 + \dot{m}_7$$ $$1000 = \dot{m}_3 + 242.8 + 50$$ $$\dot{m}_3 = 707.2 \mathrm{ \; kg/h}$$Krok 3: Bilance krystalizátoru (zařízení III)
Známe výstupy z krystalizátoru (proudy 5 a 6), chceme spočítat vstup (proud 4):
Celková hmotnost: $\dot{m}_4 = \dot{m}_5 + \dot{m}_6$
Bilance Na₂CO₃: $\dot{m}_4 \times 0{,}30 = \dot{m}_5 \times 0{,}3706 + \dot{m}_6 \times 0{,}20$
Dosadíme první rovnici do druhé:
$$(\dot{m}_5 + \dot{m}_6) \times 0.30 = 90 + \dot{m}_6 \times 0.20$$ $$(242.8 + \dot{m}_6) \times 0.30 = 90 + 0.20 \dot{m}_6$$ $$72.84 + 0.30 \dot{m}_6 = 90 + 0.20 \dot{m}_6$$ $$0.10 \dot{m}_6 = 17.16$$ $$\dot{m}_6 = 171.6 \mathrm{ \; kg/h}$$A tedy: $\dot{m}_4 = 242.8 + 171.6 = 414.4$ kg/h
Krok 4: Bilance děliče - výpočet recyklu!
Dělič (zařízení IV) rozděluje matečný roztok na odpad a recykl:
Známe $\dot{m}_6 = 171.6$ kg/h a $\dot{m}_7 = 50$ kg/h, takže:
$$171.6 = 50 + \dot{m}_8$$ $$\dot{m}_8 = 171.6 - 50 = 121.6 \mathrm{ \; kg/h}$$Výsledek
Velikost recyklovaného proudu:
121.6 kg/h
Poměr recyklu k surovině:
121.6 ÷ 1000 = 12.2 %
📊 Finální přehled všech proudů
Hmotnostní zlomky složek [-]
| Proud | Popis | $w_A$ (Na₂CO₃) | $w_B$ (H₂O) |
|---|---|---|---|
| 1 | Surovina | 0.1000 | 0.9000 |
| 2 | Směs (do odparky) | 0.1108 | 0.8892 |
| 3 | Odpařená voda | 0.0000 | 1.0000 |
| 4 | Zahuštěný roztok | 0.3000 | 0.7000 |
| 5 | Produkt (krystaly) | 0.3706 | 0.6294 |
| 6 | Matečný roztok | 0.2000 | 0.8000 |
| 7 | Odpad | 0.2000 | 0.8000 |
| 8 | Recykl | 0.2000 | 0.8000 |
Hmotnostní toky [kg/h]
| Proud | Celkem $\dot{m}$ | $\dot{m}_A$ (Na₂CO₃) | $\dot{m}_B$ (H₂O) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1000.0 | 100.0 | 900.0 |
| 2 | 1121.6 | 124.3 | 997.3 |
| 3 | 707.2 | 0.0 | 707.2 |
| 4 | 414.4 | 124.3 | 290.1 |
| 5 | 242.8 | 90.0 | 152.8 |
| 6 | 171.6 | 34.3 | 137.3 |
| 7 | 50.0 | 10.0 | 40.0 |
| 8 | 121.6 | 24.3 | 97.3 |
Zhodnocení a praktické poznámky
⚖️ Kontrola bilance
Celková hmotnostní bilance:
- Vstup: 1000 kg/h ✓
- Výstupy: 707,2 + 242,8 + 50,0 = 1000 kg/h ✓
Bilance Na₂CO₃:
- Vstup: 100 kg/h ✓
- Výstupy: 90,0 + 10,0 = 100 kg/h ✓
- Výtěžnost: 90/100 = 90 % ✓
🏭 Praktické aspekty recyklace
Výhody recyklace:
- Vyšší výtěžnost: Využití cenné složky z matečných roztoků
- Nižší odpad: Snížení objemu odpadních proudů
- Ekonomická úspora: Menší ztráty suroviny
Nevýhody recyklace:
- Složitější proces: Více zařízení, regulace
- Akumulace nečistot: Postupné zahuštění příměsí
- Vyšší investiční náklady: Dodatečná čerpadla, potrubí
♻️ Environmentální význam
Recyklace snižuje objem odpadu z 171,6 kg/h na 50 kg/h - to je snížení o 71%! Současně se zvyšuje využití suroviny z 90% na prakticky 100% (pouze malé ztráty v odpadu).