Analýza protiproudého výměníku tepla II

1. Výpočet s konstantními vlastnostmi

Cílem je stanovit výstupní teplotu vody z výměníku na základě tepelné bilance za předpokladu, že měrné tepelné kapacity obou médií jsou konstantní a nedochází ke změně skupenství.

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Spaliny (horké médium)
Hmotnostní průtok spalin $\dot{m}_{\text{sp}}$ 5 kg/s
Vstupní teplota spalin $t_{\text{sp,1}}$ 600 °C
Výstupní teplota spalin $t_{\text{sp,2}}$ 200 °C
Měrná tepelná kapacita spalin $c_{\text{sp}}$ 1300 J/(kg·K)
Voda (studené médium)
Hmotnostní průtok vody $\dot{m}_{\text{v}}$ 10 kg/s
Vstupní teplota vody $t_{\text{v,1}}$ 20 °C
Měrná tepelná kapacita vody $c_{\text{v}}$ 4160 J/(kg·K)

Postup řešení

Základem výpočtu je rovnice tepelné bilance, která říká, že teplo odevzdané horkým médium (spalinami) se rovná teplu přijatému studeným médiem (vodou), za předpokladu ideálního výměníku bez ztrát do okolí.

Krok 1: Výpočet tepelného výkonu odevzdaného spalinami ($Q$)

Vzorec pro tepelný výkon: $$Q = \dot{m}_{\text{sp}} \cdot c_{\text{sp}} \cdot (t_{\text{sp,1}} - t_{\text{sp,2}})$$

Kde:

  • $Q$ je tepelný výkon [W]
  • $\dot{m}_{\text{sp}}$ je hmotnostní průtok spalin [kg/s]
  • $c_{\text{sp}}$ je měrná tepelná kapacita spalin [J/(kg·K)]
  • $(t_{\text{sp,1}} - t_{\text{sp,2}})$ je rozdíl teplot spalin [°C nebo K]

Výpočet:

$$Q = 5 \cdot 1\,300 \cdot (600 - 200) = 5 \cdot 1\,300 \cdot 400$$ $$Q = 2\,600\,000 \text{ W} = 2{,}6 \text{ MW}$$

Spaliny tedy předají vodě tepelný výkon 2,6 MW.

Krok 2: Výpočet výstupní teploty vody ($t_{\text{v,2}}$)

Z rovnice tepelné bilance $Q = \dot{m}_{\text{v}} \cdot c_{\text{v}} \cdot (t_{\text{v,2}} - t_{\text{v,1}})$ vyjádříme neznámou výstupní teplotu vody $t_{\text{v,2}}$.

Vyjádřený vzorec pro výstupní teplotu: $$t_{\text{v,2}} = t_{\text{v,1}} + \frac{Q}{\dot{m}_{\text{v}} \cdot c_{\text{v}}}$$

Výpočet:

$$t_{\text{v,2}} = 20 + \frac{2\,600\,000}{10 \cdot 4\,160} = 20 + \frac{2\,600\,000}{41\,600}$$ $$t_{\text{v,2}} = 20 + 62{,}5 = 82{,}5 \text{ °C}$$

Vyhodnocení: Výsledná teplota 82,5 °C je nižší než 100 °C, takže za běžného tlaku nedojde k varu. Tento výsledek je fyzikálně reálný a výpočet je platný.

2. Výpočet s tepelně závislými vlastnostmi

📚 Pokročilý přístup

Pro přesnější inženýrský výpočet je nutné uvažovat, že měrná tepelná kapacita $c_p$ není konstanta, ale funkce teploty. Metodika se pak opírá o entalpii.

Princip výpočtu

Tepelný výkon se počítá jako rozdíl entalpických toků:

Entalpická bilance: $$Q = \dot{m} \cdot (h_{\text{vstup}} - h_{\text{výstup}})$$

Kde entalpie pro danou teplotu $T$ se získá integrací:

$$h(T) = \int_{T_{\text{ref}}}^{T} c_p(T) \,dT$$

A tepelná kapacita je funkcí teploty:

$$c_p(T) = A + BT + CT^2 + DT^3 + \ldots$$

Funkce $c_p(T)$ je typicky polynom, jehož koeficienty jsou pro danou látku experimentálně zjištěny a tabelovány v termodynamických databázích.

Praktický postup:

  1. Nalezení polynomických rovnic pro $c_p(T)$ pro spaliny a vodu
  2. Výpočet entalpie spalin na vstupu (při 600 °C) a výstupu (při 200 °C) pomocí integrace
  3. Určení přesného přeneseného výkonu $Q$ z rozdílu entalpií
  4. Výpočet entalpie vody na vstupu (při 20 °C)
  5. Přičtení energie odpovídající výkonu $Q$ k vstupní entalpii vody
  6. Určení konečné teploty z termodynamických tabulek nebo řešením integrální rovnice

Software pro přesné výpočty: Tento postup je numericky náročný a v praxi se řeší pomocí simulačních programů (např. DWSIM, ChemCAD, Aspen Plus), které mají databáze vlastností látek a numerické řešiče implementovány.

3. Detailní analýza při sníženém průtoku vody (5 kg/s)

Nyní provedeme detailní výpočet pro případ, kdy průtok vody klesne na 5 kg/s. Tepelný výkon předávaný spalinami zůstává stejný: Q = 2,6 MW. Zjistíme, v jakém stavu bude voda na výstupu.

📋 Dodatečná konstanta

Pro tento výpočet potřebujeme další konstantu:

  • Měrné skupenské teplo varu vody (při atm. tlaku): $L_v = 2\,257 \text{ kJ/kg} = 2\,257\,000 \text{ J/kg}$

Krok 3.1: Energie potřebná k ohřátí vody na bod varu ($Q_{\text{ohřev}}$)

Nejprve spočítáme, kolik tepla je potřeba, aby se veškerá voda ohřála ze vstupní teploty 20 °C na teplotu varu 100 °C.

Vzorec pro ohřev na bod varu: $$Q_{\text{ohřev}} = \dot{m}_{\text{v}} \cdot c_{\text{v}} \cdot (t_{\text{var}} - t_{\text{v,1}})$$

Výpočet:

$$Q_{\text{ohřev}} = 5 \cdot 4\,160 \cdot (100 - 20) = 5 \cdot 4\,160 \cdot 80$$ $$Q_{\text{ohřev}} = 1\,664\,000 \text{ W} = 1{,}664 \text{ MW}$$

Krok 3.2: Určení zbytkového tepla pro odpařování

Porovnáme celkový dostupný výkon ($Q$) s výkonem potřebným na ohřev ($Q_{\text{ohřev}}$). Jelikož $Q > Q_{\text{ohřev}}$ (2,6 MW > 1,664 MW), veškerá voda dosáhne 100 °C a zbude energie na její odpařování.

Zbývající výkon pro odpařování: $$Q_{\text{zbytek}} = Q - Q_{\text{ohřev}}$$

Výpočet:

$$Q_{\text{zbytek}} = 2\,600\,000 - 1\,664\,000 = 936\,000 \text{ W} = 0{,}936 \text{ MW}$$

Na samotnou změnu skupenství tedy zbývá výkon 0,936 MW.

Krok 3.3: Výpočet množství odpařené vody a suchosti páry

Nyní zjistíme, jaké množství vody (hmotnostní průtok) se za sekundu odpaří díky zbývajícímu výkonu.

Hmotnostní průtok odpařené vody: $$\dot{m}_{\text{pára}} = \frac{Q_{\text{zbytek}}}{L_v}$$

Suchost páry (podíl páry v směsi):

$$x = \frac{\dot{m}_{\text{pára}}}{\dot{m}_{\text{v (celkový)}}}$$

Výpočet množství odpařené vody:

$$\dot{m}_{\text{pára}} = \frac{936\,000}{2\,257\,000} = 0{,}415 \text{ kg/s}$$

Z celkového průtoku 5 kg/s se tedy odpaří pouze 0,415 kg/s. Zbytek zůstane v kapalném stavu. Výsledkem je mokrá pára o teplotě 100 °C.

Výpočet suchosti páry:

$$x = \frac{0{,}415}{5} = 0{,}083 = 8{,}3\,\%$$

⚠️ Vyhodnocení a důsledky

Při snížení průtoku vody na 5 kg/s se na výstupu z výměníku nenachází přehřátá pára o vysoké teplotě, jak naznačoval zjednodušený výpočet, ale směs kapalné vody a syté páry (mokrá pára) o teplotě 100 °C.

Charakteristiky výstupního proudu:

  • Teplota: 100 °C (konstantní při změně skupenství)
  • Suchost páry: x ≈ 0,083 (tj. 8,3 %)
  • Složení: 8,3 % hmotnosti v podobě páry, 91,7 % v podobě vařící vody

Praktické důsledky: Mokrá pára má jiné vlastnosti než přehřátá pára - nižší rychlost, vyšší hustotu, a při kondenzaci uvolňuje skupenské teplo.

Shrnutí výsledků

Tepelný výkon přenesený ze spalin: 2,6 MW

Výstupní teplota vody (průtok 10 kg/s): 82,5 °C

Stav na výstupu (průtok 5 kg/s):

Mokrá pára, T = 100 °C, suchost x ≈ 8,3 %

Klíčový poznatek:
Změna skupenství výrazně ovlivňuje výpočty!

Praktické závěry a aplikace

🔬 Význam pro inženýrskou praxi

Tento příklad ukazuje několik důležitých principů pro návrh výměníků:

  1. Kontrola změny skupenství: Vždy je nutné ověřit, zda nedochází k varu nebo kondenzaci
  2. Vliv průtoku na výkon: Snížení průtoku může vést k nežádoucím změnám skupenství
  3. Mokrá vs. přehřátá pára: Rozdílné vlastnosti vyžadují různé konstrukční řešení
  4. Bezpečnostní aspekty: Mokrá pára může způsobit vodní ráz v potrubí

Doporučení pro praxi:

  • Vždy kontrolovat možnost změny skupenství v celém provozním rozsahu
  • Navrhovat regulace průtoku s ohledem na tepelnou bilanci
  • Zohlednit vlastnosti mokré páry při návrhu následujících zařízení