Tajemství Vodovodní Baterie: Jak se míchá teplá a studená?
Zadání
Ve vodovodní baterii směšujeme proud studené vody o teplotě 20 °C a průtoku 3 l/s s proudem teplé vody o teplotě 60 °C. Chceme dosáhnout toho, aby výsledná smíchaná voda měla příjemnou teplotu 45 °C.
Úkol: Jaký musí být objemový průtok horké vody, abychom dosáhli požadované teploty?
Pro výpočet budeme uvažovat, že vlastnosti vody (hustota a měrná tepelná kapacita) se s teplotou nemění.
Bilanční Schéma a Vstupní Údaje
Systém si můžeme představit jako jednoduchý směšovač (mísící uzel), kam vstupují dva proudy a vystupuje jeden.
Vlastnosti a známé hodnoty
| Veličina | Symbol | Hodnota | Jednotka |
|---|---|---|---|
| Fyzikální vlastnosti vody | |||
| Hustota | \(\rho\) | 1 | kg/l |
| Měrná tepelná kapacita | \(c_p\) | 4,18 | kJ/(kg·K) |
| Známé hodnoty proudů | |||
| Teplota studené vody | \(t_1\) | 20 | °C |
| Průtok studené vody | \(\dot{V}_1\) | 3 | l/s |
| Teplota teplé vody | \(t_2\) | 60 | °C |
| Výsledná teplota | \(t_3\) | 45 | °C |
Princip Řešení: Energetická Bilance
Základem řešení je zákon zachování energie. V našem případě říká, že tepelná energie, kterou do baterie přivedeme (součet energie studeného a teplého proudu), se musí rovnat energii, která z ní odchází ve smíchaném proudu. Ztráty do okolí zanedbáváme.
Obecná rovnice energetické bilance:
$$ \dot{H}_1 + \dot{H}_2 = \dot{H}_3 $$Kde \(\dot{H}\) je entalpický (tepelný) tok, který spočítáme jako \( \dot{H} = \dot{m} \cdot c_p \cdot t \). Po dosazení dostaneme:
$$ \dot{m}_1 \cdot c_p \cdot t_1 + \dot{m}_2 \cdot c_p \cdot t_2 = \dot{m}_3 \cdot c_p \cdot t_3 $$Současně platí hmotnostní bilance: \( \dot{m}_3 = \dot{m}_1 + \dot{m}_2 \)
Postupný Výpočet
Krok 1: Převod objemového průtoku na hmotnostní
Nejprve převedeme známý objemový průtok studené vody na hmotnostní průtok.
\( \dot{m}_1 = \dot{V}_1 \cdot \rho = 3 \, \text{l/s} \cdot 1 \, \text{kg/l} = 3 \, \text{kg/s} \)
Krok 2: Zjednodušení energetické rovnice
Protože měrná tepelná kapacita \(c_p\) je pro všechny proudy stejná, můžeme ji z rovnice vykrátit:
\( \dot{m}_1 \cdot t_1 + \dot{m}_2 \cdot t_2 = \dot{m}_3 \cdot t_3 \)
Nyní dosadíme hmotnostní bilanci (\(\dot{m}_3 = \dot{m}_1 + \dot{m}_2\)) do pravé strany rovnice:
\( \dot{m}_1 \cdot t_1 + \dot{m}_2 \cdot t_2 = (\dot{m}_1 + \dot{m}_2) \cdot t_3 \)
Krok 3: Vyjádření neznámé \(\dot{m}_2\)
Nyní z rovnice matematicky vyjádříme hledaný průtok \(\dot{m}_2\).
\( \dot{m}_1 t_1 + \dot{m}_2 t_2 = \dot{m}_1 t_3 + \dot{m}_2 t_3 \)
\( \dot{m}_2 t_2 - \dot{m}_2 t_3 = \dot{m}_1 t_3 - \dot{m}_1 t_1 \)
\( \dot{m}_2 (t_2 - t_3) = \dot{m}_1 (t_3 - t_1) \)
$$ \dot{m}_2 = \dot{m}_1 \frac{t_3 - t_1}{t_2 - t_3} $$
Krok 4: Dosazení hodnot a výpočet
Dosadíme známé hodnoty do odvozeného vztahu:
\( \dot{m}_2 = 3 \cdot \frac{45 - 20}{60 - 45} = 3 \cdot \frac{25}{15} = 3 \cdot 1,667 \)
\( \dot{m}_2 = 5 \, \text{kg/s} \)
Krok 5: Převod zpět na objemový průtok
Výsledek převedeme zpět na objemový průtok, který je pro praxi názornější.
\( \dot{V}_2 = \frac{\dot{m}_2}{\rho} = \frac{5 \, \text{kg/s}}{1 \, \text{kg/l}} = 5 \, \text{l/s} \)
Výsledek
Potřebný průtok teplé vody je:
5 l/s