Analýza ohřevu vody v rychlovarné konvici

Zadání úlohy

Vypočítejte teoretické teplo a cenu potřebnou k ohřátí daného objemu vody. Na základě změřené doby ohřevu následně stanovte skutečný výkon a účinnost rychlovarné konvice.

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Objem vody V 1,2 l (dm³)
Počáteční teplota $t_1$ 20 °C
Konečná teplota $t_2$ 95 °C
Příkon konvice (štítkový) $P_{\text{příkon}}$ 1600 W
Cena energie C 5 Kč/kWh
Změřená doba ohřevu $t_{\text{měřený}}$ 300 s
Měrná tepelná kapacita vody c 4180 J/(kg·K)
Hustota vody $\rho$ 1 kg/l

Postup řešení

Krok 1: Výpočet potřebného tepla (energie)

Nejprve určíme hmotnost vody. Jelikož hustota vody je přibližně 1 kg/l, objem v litrech odpovídá hmotnosti v kilogramech. Poté vypočítáme teplo, které voda musí přijmout.

Hmotnost vody:

$$m = V \cdot \rho = 1{,}2 \text{ l} \cdot 1 \text{ kg/l} = 1{,}2 \text{ kg}$$
Vzorec pro teplo: $$Q = m \cdot c \cdot (t_2 - t_1)$$

Kde:

  • $Q$ je teplo (energie) [J]
  • $m$ je hmotnost [kg]
  • $c$ je měrná tepelná kapacita [J/(kg·K)]
  • $(t_2 - t_1)$ je rozdíl teplot [°C nebo K]

Výpočet:

$$Q = 1{,}2 \cdot 4\,180 \cdot (95 - 20) = 1{,}2 \cdot 4\,180 \cdot 75$$ $$Q = 376\,200 \text{ J} = 376{,}2 \text{ kJ}$$

Toto je teoretická energie, kterou je potřeba dodat pouze vodě, bez započtení jakýchkoliv ztrát.

Krok 2: Výpočet teoretické doby ohřevu

Pokud by konvice pracovala se 100% účinností (veškerý příkon by se přeměnil na teplo předané vodě), můžeme vypočítat teoretickou dobu ohřevu.

Vzorec pro teoretickou dobu ohřevu: $$t_{\text{teoretický}} = \frac{Q}{P_{\text{příkon}}}$$

Kde:

  • $t_{\text{teoretický}}$ je teoretická doba ohřevu [s]
  • $Q$ je potřebné teplo [J]
  • $P_{\text{příkon}}$ je štítkový příkon konvice [W]

Výpočet:

$$t_{\text{teoretický}} = \frac{376\,200}{1\,600} = 235{,}1 \text{ s} = 3 \text{ min } 55 \text{ s}$$

Při 100% účinnosti by konvice ohřála vodu za 3 minuty a 55 sekund. Ve skutečnosti trvá ohřev 300 sekund (5 minut), což potvrzuje existenci energetických ztrát.

Krok 3: Výpočet teoretické ceny za ohřev

Abychom mohli vypočítat cenu, musíme energii převést z joulů (J) na kilowatthodiny (kWh), což je jednotka, ve které se účtuje elektrická energie.

Převodní vztah: $1 \text{ kWh} = 3\,600\,000 \text{ J}$

Převod energie:

$$E_{\text{kWh}} = \frac{Q}{3\,600\,000} = \frac{376\,200}{3\,600\,000} = 0{,}1045 \text{ kWh}$$
Vzorec pro cenu: $$\text{Cena}_{\text{teoretická}} = E_{\text{kWh}} \cdot C$$

Výpočet teoretické ceny (pouze za energii pro ohřev vody):

$$\text{Cena}_{\text{teoretická}} = 0{,}1045 \cdot 5 = 0{,}52 \text{ Kč}$$

Toto je minimální teoretická cena, kdyby veškerá energie šla pouze do ohřevu vody (100% účinnost).

Krok 4: Výpočet skutečné ceny za ohřev

Vzhledem k tomu, že konvice má účinnost nižší než 100%, skutečná spotřeba energie bude vyšší. Můžeme ji vypočítat ze skutečné doby ohřevu a štítkového příkonu konvice.

Vzorec pro skutečnou spotřebu energie: $$E_{\text{skutečná}} = P_{\text{příkon}} \cdot t_{\text{měřený}}$$

Výpočet skutečné spotřeby:

$$E_{\text{skutečná}} = 1\,600 \cdot 300 = 480\,000 \text{ J}$$

Převod na kWh:

$$E_{\text{skutečná\,kWh}} = \frac{480\,000}{3\,600\,000} = 0{,}1333 \text{ kWh}$$

Výpočet skutečné ceny:

$$\text{Cena}_{\text{skutečná}} = 0{,}1333 \cdot 5 = 0{,}67 \text{ Kč}$$

Porovnání cen:

  • Teoretická cena (100% účinnost): 0,52 Kč
  • Skutečná cena (78,4% účinnost): 0,67 Kč
  • Rozdíl: 0,15 Kč (29% navíc kvůli ztrátám)

Krok 5: Výpočet skutečného výkonu a účinnosti

Ze změřené doby ohřevu a tepla skutečně předaného vodě můžeme vypočítat skutečný (užitečný) výkon konvice.

Vzorec pro skutečný výkon: $$P_{\text{skutečný}} = \frac{Q}{t_{\text{měřený}}}$$

Kde:

  • $P_{\text{skutečný}}$ je skutečný výkon [W]
  • $Q$ je teplo předané vodě [J]
  • $t_{\text{měřený}}$ je změřený čas [s]

Výpočet skutečného výkonu:

$$P_{\text{skutečný}} = \frac{376\,200}{300} = 1\,254 \text{ W}$$

Nyní můžeme porovnat skutečný výkon s příkonem na štítku a určit tak účinnost.

Vzorec pro účinnost: $$\eta = \frac{P_{\text{skutečný}}}{P_{\text{příkon}}} \cdot 100 \text{ [%]}$$

Výpočet účinnosti:

$$\eta = \frac{1\,254}{1\,600} \cdot 100 = 78{,}4 \text{ %}$$

Výsledky

Teplo potřebné k ohřátí vody: 376,2 kJ

Teoretická doba ohřevu (100% účinnost): 3 min 55 s

Teoretická cena za ohřev: 0,52 Kč

Skutečná doba ohřevu (změřená): 5 min

Skutečná cena za ohřev: 0,67 Kč

Skutečný výkon konvice: 1254 W

Účinnost konvice: 78,4 %

Vyhodnocení a komentář

Z výpočtů vyplývá, že konvice má skutečný výkon 1254 W, přestože její štítkový příkon je 1600 W. Rozdíl mezi těmito hodnotami představuje energetické ztráty.

Klíčová zjištění:

  • Časová úspora při 100% účinnosti: Konvice by mohla ohřát vodu o 65 sekund rychleji (3:55 vs 5:00)
  • Finanční ztráty: Kvůli účinnosti 78,4% platíme o 29% více za každý ohřev (0,67 Kč místo 0,52 Kč)
  • Roční náklady: Při denním použití 3× denně je rozdíl 164 Kč ročně (730 Kč vs 566 Kč)

Účinnost 78,4 % znamená, že přibližně 78 % elektrické energie se skutečně přemění na teplo, které ohřeje vodu. Zbylých 21,6 % energie se ztratí do okolí:

  • Ohřev samotné konvice a jejích stěn
  • Úniky tepla do okolního vzduchu
  • Ztráty unikající párou
  • Spotřeba na zvukové a světelné projevy konvice

Jedná se o typickou hodnotu pro běžné domácí spotřebiče tohoto typu. Moderní kvalitní rychlovarné konvice dosahují účinnosti 75-85 %.