Akumulace tepla v nádrži

Zadání úlohy

Vypočítejte, kolik tepla se naakumuluje do válcové nádrže naplněné pískem nebo vodou. Dále vypočítejte teoretickou dobu, po kterou lze z nádrže odebírat teplo o konstantním výkonu.

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota (voda) Hodnota (písek) Jednotka
Průměr nádrže d 3 m
Výška nádrže h 6 m
Počáteční teplota $t_1$ 20 °C
Konečná teplota $t_2$ 90 600 °C
Měrná tepelná kapacita c 4160 1000 J/(kg·K)
Hustota $\rho$ 1000 1500 kg/m³
Odběr tepla P 10 kW

Postup řešení

Krok 1: Výpočet objemu nádrže

Nejprve vypočítáme objem válcové nádrže. Poloměr $r$ je polovina průměru $d$.

Vzorec pro objem válce: $$V = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 \cdot h$$

Kde:

  • $V$ je objem [m³]
  • $\pi$ je Ludolfovo číslo (≈ 3,14159)
  • $d$ je průměr válce [m]
  • $h$ je výška válce [m]

Výpočet:

$$V = \pi \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 \cdot 6 = \pi \cdot 2{,}25 \cdot 6 = 42{,}41 \text{ m}^3$$

Krok 2: Výpočet pro vodu

Nyní spočítáme hmotnost vody a následně naakumulované teplo.

Vzorce: $$m_{\text{voda}} = \rho_{\text{voda}} \cdot V$$ $$Q_{\text{voda}} = m_{\text{voda}} \cdot c_{\text{voda}} \cdot (t_2 - t_1)$$

Kde:

  • $m$ je hmotnost [kg]
  • $\rho$ je hustota [kg/m³]
  • $Q$ je teplo [J]
  • $c$ je měrná tepelná kapacita [J/(kg·K)]
  • $(t_2 - t_1)$ je rozdíl teplot [°C nebo K]

Výpočet hmotnosti vody:

$$m_{\text{voda}} = 1000 \text{ kg/m}^3 \cdot 42{,}41 \text{ m}^3 = 42\,410 \text{ kg}$$

Výpočet naakumulovaného tepla ve vodě:

$$Q_{\text{voda}} = 42\,410 \cdot 4\,160 \cdot (90 - 20) = 42\,410 \cdot 4\,160 \cdot 70$$ $$Q_{\text{voda}} = 12\,349\,072\,000 \text{ J} = 12{,}35 \text{ GJ}$$

Krok 3: Výpočet pro písek

Stejný postup aplikujeme pro písek s jeho specifickými hodnotami.

Výpočet hmotnosti písku:

$$m_{\text{písek}} = 1\,500 \text{ kg/m}^3 \cdot 42{,}41 \text{ m}^3 = 63\,615 \text{ kg}$$

Výpočet naakumulovaného tepla v písku:

$$Q_{\text{písek}} = 63\,615 \cdot 1\,000 \cdot (600 - 20) = 63\,615 \cdot 1\,000 \cdot 580$$ $$Q_{\text{písek}} = 36\,896\,700\,000 \text{ J} = 36{,}90 \text{ GJ}$$

Krok 4: Výpočet teoretické doby odběru tepla

Dobu odběru vypočítáme z celkového naakumulovaného tepla a výkonu odběru. Nezapomeneme převést výkon z kW na W.

Vzorec pro dobu: $$t = \frac{Q}{P}$$

Kde:

  • $t$ je čas [s]
  • $Q$ je celkové teplo [J]
  • $P$ je výkon [W]

Převod výkonu: $P = 10 \text{ kW} = 10\,000 \text{ W}$

Doba odběru pro vodu:

$$t_{\text{voda}} = \frac{12\,349\,072\,000 \text{ J}}{10\,000 \text{ W}} = 1\,234\,907 \text{ s}$$

Převody:

  • Na hodiny: $1\,234\,907 \div 3\,600 = 343$ hodin
  • Na dny: $343 \div 24 = 14{,}3$ dne

Doba odběru pro písek:

$$t_{\text{písek}} = \frac{36\,896\,700\,000 \text{ J}}{10\,000 \text{ W}} = 3\,689\,670 \text{ s}$$

Převody:

  • Na hodiny: $3\,689\,670 \div 3\,600 = 1\,025$ hodin
  • Na dny: $1\,025 \div 24 = 42{,}7$ dne

Výsledky

Naakumulované teplo ve vodě: 12,35 GJ

Naakumulované teplo v písku: 36,90 GJ

Teoretická doba odběru tepla (voda): 14,3 dne

Teoretická doba odběru tepla (písek): 42,7 dne

Vyhodnocení a komentář

Z výsledků je patrné, že písek dokáže v daném objemu naakumulovat přibližně 3× více tepla než voda. Ačkoliv má voda výrazně vyšší měrnou tepelnou kapacitu (je lepším "nosičem" tepla na kilogram), písek může být ohřát na mnohem vyšší teplotu.

Právě tento velký teplotní rozdíl (580 °C u písku oproti 70 °C u vody) je v tomto případě rozhodujícím faktorem pro celkovou akumulovanou energii.

Poznámka k praktické aplikaci: Výpočty doby odběru jsou teoretické, protože v praxi by se výkon odběru snižoval s klesající teplotou média v nádrži a teplo by se neodebíralo až do ochlazení na počáteční teplotu. Přesto tyto hodnoty jasně ukazují velký potenciál písku jako média pro vysokoteplotní akumulaci tepelné energie.