Průvodce Procesními Bilancemi
Pojďme společně odhalit tajemství toho, co se děje uvnitř průmyslových zařízení!
Co jsou to bilance a proč jsou důležité?
Představte si, že mícháte koktejl. Víte přesně, kolik džusu a kolik sirupu jste do shakeru nalili. Co z toho plyne? Že přesně víte, kolik koktejlu (a jak sladkého) ve výsledku máte. A přesně to je princip bilancí! V průmyslu je to stejné, jen místo džusu a sirupu pracujeme s chemikáliemi, teplem a energií.
Základní myšlenka je Zákon zachování:
- Hmotnostní bilance: Hmotnost se nemůže jen tak ztratit ani odnikud objevit. Co do zařízení vteče, to z něj musí i vytéct.
- Energetická bilance: Energie se také neztrácí, pouze mění svou formu. Energie, kterou do systému dodáme (např. ohřevem), se musí projevit na výstupu (např. vyšší teplotou).
Díky bilancím umíme přesně spočítat, co se stane s materiály a energií v jakémkoliv zařízení, aniž bychom se do něj museli dívat. Je to základní nástroj každého inženýra!
Jak počítáme energii?
Energii, kterou nese každý proud, nazýváme entalpie (značíme H). Je to v podstatě tepelný obsah. Počítá se jako hmotnostní průtok (ṁ) krát měrná entalpie (h). Měrnou entalpii pro jednoduchost určíme jako: \( h = c_p \cdot (t - t_{ref}) \), kde \(c_p\) je tepelná kapacita a \(t_{ref}\) je referenční teplota (obvykle 0 °C).
1. Směšovač (Mixer)
Princip: Nejjednodušší zařízení. Dva nebo více vstupních proudů smíchá do jednoho výstupního proudu. Představte si míchání teplé a studené vody ve sprše.
Obecné bilanční rovnice
Celková hmotnostní bilance: Součet vstupů se rovná výstupu. $$ \dot{m}_1 + \dot{m}_2 = \dot{m}_3 $$
Energetická (entalpická) bilance: Energie výstupu je součtem energií vstupů. $$ \dot{m}_1 h_1 + \dot{m}_2 h_2 = \dot{m}_3 h_3 $$ $$ \dot{m}_1 c_p (t_1 - t_{ref}) + \dot{m}_2 c_p (t_2 - t_{ref}) = \dot{m}_3 c_p (t_3 - t_{ref}) $$
Konkrétní příklad
Zadání: Mícháme proud 1 (studená voda, 3 kg/s, 10 °C) s proudem 2 (horká voda, 1 kg/s, 90 °C). Jaké budou parametry výsledného proudu 3? Tepelná kapacita vody \(c_p\) je 4.2 kJ/(kg·K).
Výpočet:
1. Hmotnostní bilance: \( \dot{m}_3 = \dot{m}_1 + \dot{m}_2 = 3 + 1 = 4 \, \text{kg/s} \)
2. Energetická bilance (za \(t_{ref}\) = 0 °C):
$$ 3 \cdot 4.2 \cdot (10 - 0) + 1 \cdot 4.2 \cdot (90 - 0) = 4 \cdot 4.2 \cdot (t_3 - 0) $$
$$ 126 + 378 = 16.8 \cdot t_3 $$
$$ 504 = 16.8 \cdot t_3 \implies t_3 = \frac{504}{16.8} = 30 \, \text{°C} $$
Bilanční tabulka
| Proud | Průtok [kg/s] | Teplota [°C] | Složení | Entalpický tok [kW] |
|---|---|---|---|---|
| 1 (Vstup) | 3.0 | 10 | 100% Voda | \(3 \cdot 4.2 \cdot 10 = 126\) |
| 2 (Vstup) | 1.0 | 90 | 100% Voda | \(1 \cdot 4.2 \cdot 90 = 378\) |
| 3 (Výstup) | 4.0 | 30 | 100% Voda | \(126+378 = 504\) |
2. Dělič (Splitter)
Princip: Jeden vstupní proud rozdělí na dva nebo více výstupních proudů. Důležité je, že složení ani teplota se nemění! Jen se rozdělí hmota. Funguje jako "téčko" na zahradní hadici.
Obecné bilanční rovnice
Celková hmotnostní bilance: $$ \dot{m}_1 = \dot{m}_2 + \dot{m}_3 $$
Dělící poměr (R): Udává, jaká část vstupního proudu jde do proudu 2. $$ \dot{m}_2 = R \cdot \dot{m}_1 \implies \dot{m}_3 = (1-R) \cdot \dot{m}_1 $$
Složení a teplota: $$ t_1 = t_2 = t_3 $$ $$ \text{složení}_1 = \text{složení}_2 = \text{složení}_3 $$
Konkrétní příklad
Zadání: Dělíme proud 1 (100 kg/h směsi 60% vody a 40% ethanolu) o teplotě 50 °C. Dělící poměr do proudu 2 je 0.3 (tedy 30 %). Jaké budou parametry výstupních proudů? \(c_p\) směsi je 3.5 kJ/(kg·K).
Výpočet:
1. Průtoky:
\( \dot{m}_2 = 0.3 \cdot 100 = 30 \, \text{kg/h} \)
\( \dot{m}_3 = (1 - 0.3) \cdot 100 = 70 \, \text{kg/h} \)
2. Teplota a složení: Zůstávají stejné jako na vstupu.
\( t_2 = t_3 = 50 \, \text{°C} \)
\( \text{složení}_2 = \text{složení}_3 = 60\% \, \text{voda}, 40\% \, \text{ethanol} \)
Bilanční tabulka
| Proud | Průtok [kg/h] | Teplota [°C] | Složení (Voda/Ethanol) | Entalpický tok [kJ/h] |
|---|---|---|---|---|
| 1 (Vstup) | 100.0 | 50 | 60% / 40% | \(100 \cdot 3.5 \cdot 50 = 17500\) |
| 2 (Výstup) | 30.0 | 50 | 60% / 40% | \(30 \cdot 3.5 \cdot 50 = 5250\) |
| 3 (Výstup) | 70.0 | 50 | 60% / 40% | \(70 \cdot 3.5 \cdot 50 = 12250\) |
3. Separátor složek
Princip: Na rozdíl od děliče toto zařízení rozděluje proud na základě chemických nebo fyzikálních vlastností. Například v destilační koloně se oddělí těkavější látka (ethanol) od méně těkavé (voda). Teplotu pro zjednodušení považujeme za konstantní.
Obecné bilanční rovnice
Celková hmotnostní bilance: Vstup se rovná součtu výstupů. $$ \dot{m}_1 = \dot{m}_2 + \dot{m}_3 $$
Bilanční složky (pro každou složku 'i'): Hmotnost každé složky se musí také zachovat. $$ \dot{m}_{1,i} = \dot{m}_{2,i} + \dot{m}_{3,i} $$ Kde \( \dot{m}_{1,i} \) je hmotnostní průtok složky 'i' v proudu 1. Platí \( \dot{m}_{1,i} = x_{1,i} \cdot \dot{m}_1 \), kde \(x\) je hmotnostní zlomek dané složky.
Energetická (entalpická) bilance: Za předpokladu, že separace probíhá při konstantní teplotě a bez dodávání či odebírání tepla (adiabaticky), je energie vstupního proudu rovna součtu energií výstupních proudů. $$ \dot{m}_1 h_1 = \dot{m}_2 h_2 + \dot{m}_3 h_3 $$ Protože se mění složení proudů, každý proud má jinou měrnou tepelnou kapacitu (\(c_p\)). Teplota se pro zjednodušení často považuje za konstantní (\(t_1 = t_2 = t_3\)).
Konkrétní příklad
Zadání: Do separátoru vstupuje 100 kg/h směsi (proud 1) složené z 60% vody a 40% ethanolu při 80°C. Víme, že 95% ethanolu ze vstupu odchází horním produktem (proud 2). Zbytek ethanolu a veškerá voda odchází spodním produktem (proud 3). Jaké je složení a průtok výstupních proudů? \(c_p\) směsi = 3.5 kJ/(kg·K).
Výpočet:
1. Průtoky složek ve vstupu:
\( \dot{m}_{1,voda} = 0.60 \cdot 100 = 60 \, \text{kg/h} \)
\( \dot{m}_{1,eth} = 0.40 \cdot 100 = 40 \, \text{kg/h} \)
2. Rozdělení ethanolu:
\( \dot{m}_{2,eth} = 0.95 \cdot \dot{m}_{1,eth} = 0.95 \cdot 40 = 38 \, \text{kg/h} \) (v horním produktu)
\( \dot{m}_{3,eth} = \dot{m}_{1,eth} - \dot{m}_{2,eth} = 40 - 38 = 2 \, \text{kg/h} \) (ve spodním produktu)
3. Rozdělení vody: Veškerá voda jde do spodního produktu.
\( \dot{m}_{2,voda} = 0 \, \text{kg/h} \)
\( \dot{m}_{3,voda} = 60 \, \text{kg/h} \)
4. Celkové průtoky a složení výstupů:
\( \dot{m}_2 = \dot{m}_{2,voda} + \dot{m}_{2,eth} = 0 + 38 = 38 \, \text{kg/h} \) (Složení: 100% ethanol)
\( \dot{m}_3 = \dot{m}_{3,voda} + \dot{m}_{3,eth} = 60 + 2 = 62 \, \text{kg/h} \)
Hmotnostní zlomek vody v proudu 3: \( x_{3,voda} = 60 / 62 \approx 96.8\% \)
Bilanční tabulka
| Proud | Průtok [kg/h] | Teplota [°C] | Složení (Voda/Ethanol) | Entalpický tok [kJ/h] |
|---|---|---|---|---|
| 1 (Vstup) | 100.0 | 80 | 60% / 40% | \(100 \cdot 3.5 \cdot 80 = 28000\) |
| 2 (Výstup) | 38.0 | 80 | 0% / 100% | \(38 \cdot 2.4 \cdot 80 \approx 7296 \)* |
| 3 (Výstup) | 62.0 | 80 | 96.8% / 3.2% | \(62 \cdot 4.0 \cdot 80 \approx 19840 \)* |
*Pozn: Pro výpočet entalpie výstupů byly použity odpovídající tepelné kapacity čistého ethanolu (2.4) a směsi v proudu 3 (cca 4.0). Součet entalpií výstupů (27136) se mírně liší od vstupu kvůli zjednodušení. V reálu by se energie zachovala přesně.
4. Ohřívač (Heater)
Princip: Zařízení, které dodává teplo (energii) do procházejícího proudu a zvyšuje tak jeho teplotu. Příkladem je rychlovarná konvice nebo průtokový ohřívač vody.
Obecné bilanční rovnice
Hmotnostní bilance: Průtok se nemění. $$ \dot{m}_1 = \dot{m}_2 $$
Energetická bilance: K energii vstupu přičteme dodané teplo Q. $$ \dot{m}_1 h_1 + Q = \dot{m}_2 h_2 $$ $$ Q = \dot{m} \cdot c_p \cdot (t_2 - t_1) $$
Konkrétní příklad
Zadání: Chceme ohřát 0.5 kg/s oleje (\(c_p\) = 2.1 kJ/(kg·K)) z 20 °C na 120 °C. Jaký tepelný výkon (Q) musíme do ohřívače dodávat?
Výpočet:
1. Hmotnostní bilance: \( \dot{m}_1 = \dot{m}_2 = 0.5 \, \text{kg/s} \)
2. Energetická bilance:
\( Q = 0.5 \cdot 2.1 \cdot (120 - 20) \)
\( Q = 0.5 \cdot 2.1 \cdot 100 = 105 \, \text{kW} \)
Bilanční tabulka
| Proud | Průtok [kg/s] | Teplota [°C] | Složení | Entalpický tok [kW] |
|---|---|---|---|---|
| 1 (Vstup) | 0.5 | 20 | 100% Olej | \(0.5 \cdot 2.1 \cdot 20 = 21\) |
| Q (Dodané teplo) | - | - | - | 105 |
| 2 (Výstup) | 0.5 | 120 | 100% Olej | \(21 + 105 = 126\) |
5. Chladič (Cooler)
Princip: Přesný opak ohřívače. Ze zařízení odebíráme teplo, a tím snižujeme teplotu procházejícího proudu. Typickým příkladem je chladič v autě.
Obecné bilanční rovnice
Hmotnostní bilance: $$ \dot{m}_1 = \dot{m}_2 $$
Energetická bilance: Z energie vstupu odebereme odebrané teplo Q. $$ \dot{m}_1 h_1 = \dot{m}_2 h_2 + Q $$ $$ Q = \dot{m} \cdot c_p \cdot (t_1 - t_2) $$
Konkrétní příklad
Zadání: Chladičem odebíráme výkon 500 kW. Kolik vody (\(c_p\) = 4.2 kJ/(kg·K)) o vstupní teplotě 95 °C můžeme ochladit na 45 °C?
Výpočet:
Ze vzorce \( Q = \dot{m} \cdot c_p \cdot (t_1 - t_2) \) vyjádříme \( \dot{m} \):
$$ \dot{m} = \frac{Q}{c_p \cdot (t_1 - t_2)} $$
$$ \dot{m} = \frac{500}{4.2 \cdot (95 - 45)} = \frac{500}{4.2 \cdot 50} = \frac{500}{210} \approx 2.38 \, \text{kg/s} $$
Bilanční tabulka
| Proud | Průtok [kg/s] | Teplota [°C] | Složení | Entalpický tok [kW] |
|---|---|---|---|---|
| 1 (Vstup) | 2.38 | 95 | 100% Voda | \(2.38 \cdot 4.2 \cdot 95 \approx 950\) |
| Q (Odebrané teplo) | - | - | - | 500 |
| 2 (Výstup) | 2.38 | 45 | 100% Voda | \(950 - 500 = 450\) |
6. Výměník Tepla
Princip: Nejdůmyslnější zařízení! Teplo se zde "nerecykluje". Horký proud předává své teplo studenému proudu, aniž by se smíchaly. Horký proud se ochlazuje a studený ohřívá. Celkové teplo se do systému nedodává ani neodebírá (Q=0).
Obecné bilanční rovnice
Hmotnostní bilance: Pro každý proud zvlášť platí, že vstup se rovná výstupu.
Energetická bilance: Teplo odevzdané horkým proudem ($Q_{horký}$) se rovná teplu přijatému studeným proudem ($Q_{studený}$). $$ Q_{\text{odevzdané}} = Q_{\text{přijaté}} $$ $$ \dot{m}_h \cdot c_{p,h} \cdot (t_{h,1} - t_{h,2}) = \dot{m}_s \cdot c_{p,s} \cdot (t_{s,2} - t_{s,1}) $$
Konkrétní příklad
Zadání: Horký olej (proud h, 1 kg/s, \(c_p\)=2.1 kJ/kgK) se chladí z 150°C na 50°C. Tímto teplem ohříváme vodu (proud s, 0.5 kg/s, \(c_p\)=4.2 kJ/kgK) o vstupní teplotě 20°C. Jaká bude výstupní teplota vody?
Výpočet:
1. Výpočet přeneseného tepla Q z horkého proudu:
\( Q = \dot{m}_h \cdot c_{p,h} \cdot (t_{h,1} - t_{h,2}) \)
\( Q = 1 \cdot 2.1 \cdot (150 - 50) = 1 \cdot 2.1 \cdot 100 = 210 \, \text{kW} \)
2. Výpočet výstupní teploty studeného proudu:
\( Q = \dot{m}_s \cdot c_{p,s} \cdot (t_{s,2} - t_{s,1}) \), vyjádříme \( t_{s,2} \):
$$ t_{s,2} = t_{s,1} + \frac{Q}{\dot{m}_s \cdot c_{p,s}} $$
$$ t_{s,2} = 20 + \frac{210}{0.5 \cdot 4.2} = 20 + \frac{210}{2.1} = 20 + 100 = 120 \, \text{°C} $$
Bilanční tabulka
| Proud | Průtok [kg/s] | Teplota Vstup [°C] | Teplota Výstup [°C] | Entalpická změna [kW] |
|---|---|---|---|---|
| Horký (Olej) | 1.0 | 150 | 50 | -210 (odevzdal) |
| Studený (Voda) | 0.5 | 20 | 120 | +210 (přijal) |