Optimalizace procesů

Minimalizace nákladů na výrobu tlakové nádoby

Optimalizace je matematická metoda pro nalezení nejlepšího řešení při splnění daných omezení. V inženýrské praxi se často snažíme minimalizovat náklady, maximalizovat výkon nebo najít optimální rozměry konstrukce.

Úvod do problému

Navrhujeme válcovou tlakovou nádobu pro chemický proces. Cílem je minimalizovat náklady na materiál při splnění požadavků na objem a bezpečnost.

Geometrie válcové nádoby:
Objem: $V = \pi r^2 h$
Povrch: $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ (dno + víko + plášť)
Náklady: $C = k \cdot S$ (kde $k$ je cena za m²)

Zadání úlohy

Parametr Hodnota Jednotka
Požadovaný objem 10 m³
Cena materiálu 500 Kč/m²
Minimální poloměr 0.5 m
Maximální výška 6 m

Úkol: Najděte rozměry nádoby (poloměr $r$ a výšku $h$), které minimalizují náklady na materiál.

Formulace optimalizačního problému

Účelová funkce (minimalizace nákladů):

$$C(r, h) = 500 \cdot (2\pi r^2 + 2\pi r h) = 1000\pi(r^2 + rh)$$

Omezující podmínky:

1. Objemová podmínka: $\pi r^2 h = 10$
2. Geometrická omezení: $r \geq 0.5$ m, $h \leq 6$ m
3. Fyzikální podmínky: $r > 0$, $h > 0$

Z objemové podmínky můžeme vyjádřit výšku:

$$h = \frac{10}{\pi r^2}$$

Substituce a redukce problému

Dosadíme $h$ do účelové funkce a převedeme na problém jedné proměnné:

$$C(r) = 1000\pi\left(r^2 + r \cdot \frac{10}{\pi r^2}\right)$$ $$C(r) = 1000\pi\left(r^2 + \frac{10}{\pi r}\right)$$ $$C(r) = 1000\pi r^2 + \frac{10000}{r}$$

Definiční obor:

Z podmínky $h \leq 6$ m získáme:

$$\frac{10}{\pi r^2} \leq 6 \quad \Rightarrow \quad r^2 \geq \frac{10}{6\pi} \quad \Rightarrow \quad r \geq \sqrt{\frac{10}{6\pi}} \approx 0.729 \text{ m}$$

Kombinací s podmínkou $r \geq 0.5$ m dostáváme: $r \geq 0.729$ m

Nalezení optima pomocí derivace

První derivace:

$$C'(r) = 2000\pi r - \frac{10000}{r^2}$$

Podmínka pro extremum:

$$C'(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2000\pi r - \frac{10000}{r^2} = 0$$ $$2000\pi r = \frac{10000}{r^2}$$ $$2000\pi r^3 = 10000$$ $$r^3 = \frac{10000}{2000\pi} = \frac{5}{\pi}$$ $$r = \sqrt[3]{\frac{5}{\pi}} \approx 1.084 \text{ m}$$

Kontrola druhé derivace:

$$C''(r) = 2000\pi + \frac{20000}{r^3}$$

Pro $r > 0$ je $C''(r) > 0$, tudíž se jedná o minimum.

Výpočet optimálních rozměrů

Parametr Výpočet Hodnota
Optimální poloměr $r = \sqrt[3]{\frac{5}{\pi}}$ 1.084 m
Optimální výška $h = \frac{10}{\pi r^2}$ 2.168 m
Poměr h/r $\frac{h}{r} = \frac{2 \cdot 1.084}{1.084}$ 2.0
Minimální náklady $C = 1000\pi(r^2 + rh)$ 22 281 Kč
Zajímavý výsledek: U optimální nádoby je výška vždy dvojnásobek poloměru ($h = 2r$). Toto je obecné pravidlo pro cylindrické nádoby s pevným objemem.

Grafické znázornění

Srovnání s alternativními návrhy

Návrh r [m] h [m] Objem [m³] Náklady [Kč] Rozdíl
Optimální 1.084 2.168 10.00 22 281 -
Krychlový 1.336 1.784 10.00 23 562 +1 281
Vysoký úzký 0.8 4.974 10.00 27 991 +5 710
Nízký široký 1.5 1.415 10.00 24 740 +2 459

Interaktivní kalkulátor

Optimalizace tlakové nádoby











Výsledek optimalizace

Optimální rozměry tlakové nádoby:

Poloměr: 1.084 m

Výška: 2.168 m (= 2 × poloměr)

Minimální náklady: 22 281 Kč

Úspora oproti neoptimálním návrhům: 5-25%

Poznámky k optimalizaci