Soustavy lineárních rovnic

Řešení problému míchání chemických roztoků

Soustavy lineárních rovnic se často vyskytují v chemických výpočtech, zejména při míchání roztoků různých koncentrací. V tomto příkladu se naučíme řešit praktický problém pomocí eliminačních metod.

Úvod do problému

V chemické laboratoři často potřebujeme připravit roztok požadované koncentrace smícháním dvou nebo více roztoků. Tento problém se řeší pomocí soustavy lineárních rovnic založené na bilančních rovnicích.

Základní principy:
Hmotnostní bilance: Celková hmotnost = součet hmotností složek
Látkové bilance: Celkové množství látky = součet množství v jednotlivých složkách

Zadání úlohy

Úkol: Určete, kolik gramů 20% roztoku NaCl a kolik gramů 5% roztoku NaCl musíme smíchat, abychom získali 300 g roztoku o koncentraci 12%.

Parametr Hodnota Jednotka
Koncentrace roztoku A 20 % hmot.
Koncentrace roztoku B 5 % hmot.
Požadovaná koncentrace 12 % hmot.
Celková hmotnost 300 g

Formulace soustavy rovnic

Označme:

Sestavení rovnic:

1. Hmotnostní bilance:
$$x + y = 300$$ 2. Látková bilance pro NaCl:
$$0.20x + 0.05y = 0.12 \times 300$$ $$0.20x + 0.05y = 36$$

Získali jsme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých:

$$\begin{cases} x + y = 300 \\ 0.20x + 0.05y = 36 \end{cases}$$

Řešení eliminační metodou

Metoda dosazení

Krok 1: Z první rovnice vyjádříme $y$:

$$y = 300 - x$$

Krok 2: Dosadíme do druhé rovnice:

$$0.20x + 0.05(300 - x) = 36$$ $$0.20x + 15 - 0.05x = 36$$ $$0.15x = 36 - 15$$ $$0.15x = 21$$ $$x = \frac{21}{0.15} = 140 \text{ g}$$

Krok 3: Vypočítáme $y$:

$$y = 300 - 140 = 160 \text{ g}$$

Ověření výsledku

Kontrola správnosti řešení:

Kontrola hmotnostní bilance:

$$x + y = 140 + 160 = 300 \text{ g} \quad \checkmark$$

Kontrola látkové bilance:

\begin{align} \text{Hmotnost NaCl} &= 0.20 \times 140 + 0.05 \times 160 \\ &= 28 + 8 = 36 \text{ g} \\ \text{Koncentrace} &= \frac{36}{300} \times 100\% = 12\% \quad \checkmark \end{align}

Alternativní metoda - Gaussova eliminace

Pro komplexnější soustavy používáme Gaussovu eliminaci s rozšířenou maticí:

$$\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 300 \\ 0.2 & 0.05 & 36 \end{array}\right)$$

Krok 1: Eliminace - vynulujeme prvek pod diagonálou:

$$R_2 \leftarrow R_2 - 0.2 \cdot R_1$$ $$\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 300 \\ 0 & -0.15 & -24 \end{array}\right)$$

Krok 2: Zpětná substituce:

$$-0.15y = -24 \quad \Rightarrow \quad y = 160$$ $$x + 160 = 300 \quad \Rightarrow \quad x = 140$$

Grafické znázornění

x [g] - hmotnost 20% roztoku y [g] - hmotnost 5% roztoku 0 100 200 300 0 100 200 300 x + y = 300 0.20x + 0.05y = 36 (140, 160)

Interaktivní kalkulátor

Řešení soustavy 2×2

Zadejte koeficienty soustavy ax + by = c, dx + ey = f:

x + y =
x + y =


Výsledek

Musíme smíchat:

140 g roztoku o koncentraci 20%

160 g roztoku o koncentraci 5%

Získáme 300 g roztoku o koncentraci 12%

Praktické aplikace

Další příklady použití:

Strategie řešení složitějších problémů:

Poznámky k metodám řešení