Regresní analýza

Určení pružinové konstanty pomocí lineární regrese

Regresní analýza je statistická metoda pro nalezení vztahu mezi závislou a nezávislou proměnnou. V tomto příkladu použijeme lineární regresi k určení pružinové konstanty podle Hookova zákona.

Úvod do problému

Hookův zákon popisuje lineární vztah mezi silou působící na pružinu a jejím prodloužením:

Hookův zákon:
$$F = k \cdot x$$
kde:
  • $F$ je síla v newtonech [N]
  • $k$ je pružinová konstanta [N/m]
  • $x$ je prodloužení v metrech [m]

Pro lineární regresi ve tvaru $y = ax + b$ můžeme psát:

$$F = k \cdot x + 0$$

kde směrnice $a = k$ a $b = 0$ (pružina bez zatížení se nedeformuje)

Experimentální data

Naměřené hodnoty síly a prodloužení pružiny:

Zatížení [N] Prodloužení [mm] Prodloužení [m]
0.5 2.1 0.0021
1.0 4.3 0.0043
1.5 6.2 0.0062
2.0 8.1 0.0081
2.5 10.4 0.0104
3.0 12.3 0.0123

Metoda nejmenších čtverců

Pro nalezení nejlepší přímky používáme metodu nejmenších čtverců:

Vzorce pro lineární regresi:
$$a = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{n\sum x^2 - (\sum x)^2}$$ $$b = \frac{\sum y - a\sum x}{n}$$
kde $n$ je počet měření

Pro Hookův zákon očekáváme $b \approx 0$, takže se zaměříme na výpočet směrnice $a = k$.

Výpočet krok za krokem

Krok 1: Příprava pomocných součtů

$x$ [m] $y$ [N] $x^2$ [m²] $xy$ [N·m]
0.0021 0.5 4.41×10⁻⁶ 1.05×10⁻³
0.0043 1.0 1.85×10⁻⁵ 4.30×10⁻³
0.0062 1.5 3.84×10⁻⁵ 9.30×10⁻³
0.0081 2.0 6.56×10⁻⁵ 1.62×10⁻²
0.0104 2.5 1.08×10⁻⁴ 2.60×10⁻²
0.0123 3.0 1.51×10⁻⁴ 3.69×10⁻²

Krok 2: Výpočet součtů

Parametr Hodnota
$n$ 6
$\sum x$ 0.0434 m
$\sum y$ 10.5 N
$\sum x^2$ 3.91×10⁻⁴ m²
$\sum xy$ 0.0936 N·m

Krok 3: Výpočet směrnice (pružinové konstanty)

$$k = a = \frac{6 \times 0.0936 - 0.0434 \times 10.5}{6 \times 3.91 \times 10^{-4} - (0.0434)^2}$$ $$k = \frac{0.5616 - 0.4557}{2.346 \times 10^{-3} - 1.883 \times 10^{-3}}$$ $$k = \frac{0.1059}{4.63 \times 10^{-4}} = 228.7 \text{ N/m}$$

Grafické znázornění

Statistické vyhodnocení

Korelační koeficient

$$r = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{\sqrt{(n\sum x^2 - (\sum x)^2)(n\sum y^2 - (\sum y)^2)}}$$
Statistický parametr Hodnota Interpretace
Korelační koeficient $r$ 0.9967 Velmi silná lineární závislost
Determinační koeficient $r^2$ 0.9935 99.35% variability vysvětleno modelem
Střední kvadratická chyba 0.027 N Průměrná odchylka od modelu

Interaktivní kalkulátor

Regresní analýza pro Hookův zákon

Zadejte naměřené hodnoty (oddělené čárkami):







Výsledek

Pružinová konstanta určená regresní analýzou:

k = 228.7 N/m

Korelační koeficient: r = 0.997

Kvalita modelu: Výborná (r² = 99.35%)

Poznámky k regresní analýze