Lineární interpolace
Výpočet hustoty ethanolu při různých teplotách
Interpolace je matematická metoda pro odhad hodnot mezi známými datovými body. V tomto příkladu použijeme lineární interpolaci k určení hustoty ethanolu při teplotě, pro kterou nemáme přímé měření.
Úvod do problému
V chemickém laboratorním praktiku často potřebujeme znát fyzikální vlastnosti látek při specifických podmínkách. Hustota ethanolu se mění s teplotou, ale tabulky obvykle obsahují pouze hodnoty pro určité teploty.
Lineární interpolace:
$$y = y_1 + \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}(y_2 - y_1)$$
kde:
$$y = y_1 + \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}(y_2 - y_1)$$
kde:
- $(x_1, y_1)$ a $(x_2, y_2)$ jsou známé datové body
- $x$ je hodnota, pro kterou hledáme $y$
- $y$ je interpolovaná hodnota
Tabulková data
Hustota čistého ethanolu při různých teplotách:
| Teplota [°C] | Hustota [g/cm³] |
|---|---|
| 10 | 0.7969 |
| 15 | 0.7937 |
| 20 | 0.7893 |
| 25 | 0.7851 |
| 30 | 0.7808 |
Zadání úlohy
Úkol: Určete hustotu ethanolu při teplotě 23°C pomocí lineární interpolace.
Identifikace sousedních bodů
Pro teplotu 23°C najdeme nejbližší hodnoty v tabulce:
- Nižší bod: $(x_1, y_1) = (20°C, 0.7893 \text{ g/cm}^3)$
- Vyšší bod: $(x_2, y_2) = (25°C, 0.7851 \text{ g/cm}^3)$
- Hledaná hodnota: $x = 23°C$
Výpočet krok za krokem
Krok 1: Dosazení do vzorce
$$y = 0.7893 + \frac{23 - 20}{25 - 20}(0.7851 - 0.7893)$$
Krok 2: Výpočet rozdílů
| Výraz | Hodnota |
|---|---|
| $x - x_1 = 23 - 20$ | 3°C |
| $x_2 - x_1 = 25 - 20$ | 5°C |
| $y_2 - y_1 = 0.7851 - 0.7893$ | -0.0042 g/cm³ |
Krok 3: Finální výpočet
$$y = 0.7893 + \frac{3}{5} \times (-0.0042)$$
$$y = 0.7893 - 0.6 \times 0.0042$$
$$y = 0.7893 - 0.00252$$
$$y = 0.78678 \text{ g/cm}^3$$
Grafické znázornění
Interaktivní kalkulátor
Interpolace hustoty ethanolu
Výsledek
Hustota ethanolu při teplotě 23°C je:
0.7868 g/cm³
Relativní chyba oproti přesné hodnotě: < 0.1%
Praktické aplikace
Výhody lineární interpolace:
- Jednoduchost: Snadný výpočet, nevyžaduje složité algoritmy
- Rychlost: Okamžitý výsledek pro interpolaci mezi dvěma body
- Přesnost: Dostatečně přesná pro malé intervaly
Omezení:
- Pouze mezi body: Není vhodná pro extrapolaci
- Linearita: Předpokládá lineární závislost mezi body
- Přesnost: Menší přesnost při velkých intervalech
Poznámky k aplikaci
- Laboratorní praxe: Interpolace se používá při kalibraci přístrojů
- Fyzikální vlastnosti: Ideální pro hustotu, viskozitu, teploty tání
- Kontrola výsledku: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl
- Přesnost měření: Výsledek nemůže být přesnější než vstupní data