Interpolace a aproximace

Matematický vzorec

Pro body (x₀, y₀) a (x₁, y₁): $$ y = y_0 + (y_1 - y_0) \cdot \frac{x - x_0}{x_1 - x_0} $$

Postup výpočtu:

1. Najdeme dva nejbližší body (x₀, y₀) a (x₁, y₁)
2. Použijeme vzorec pro přímku procházející těmito body
3. Vypočteme hodnotu y pro požadované x

Lagrangeova metoda

Obecný vzorec: $$ L(x) = \sum_{i=0}^{n-1} y_i \cdot l_i(x) $$ kde $$ l_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n-1} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} $$

Vlastnosti polynomiální interpolace:

• Jednoznačnost: Pro n bodů existuje jediný polynom stupně n-1
• Hladkost: Polynom je nekonečněkrát diferencovatelný
• Globální charakter: Změna jednoho bodu ovlivní celý polynom

Podmínky pro kubický spline

Na každém intervalu [xᵢ, xᵢ₊₁]: $$ S_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)^2 + d_i(x - x_i)^3 $$

Podmínky spojitosti:

1. Interpolace: S(xᵢ) = yᵢ pro všechna i
2. Spojitost funkce: S je spojitá
3. Spojitost 1. derivace: S' je spojitá
4. Spojitost 2. derivace: S'' je spojitá

Matematické odvození

Hledáme přímku: \(y = ax + b\)

Minimalizujeme: \(\sum_{i=1}^{n} (y_i - (ax_i + b))^2\)

Řešení: $$ a = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} $$ $$ b = \frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n} $$

Korelační koeficient

Míra lineární závislosti: $$ r = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{\sqrt{(n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2)(n\sum y_i^2 - (\sum y_i)^2)}} $$

Interpretace: r ∈ [-1, 1], |r| > 0.8 znamená silnou lineární závislost

Typy regresí

Koeficient determinace R²

Kvalita fitu: $$ R^2 = 1 - \frac{\sum(y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum(y_i - \bar{y})^2} $$

Interpretace: R² ∈ [0, 1], vyšší hodnoty = lepší fit